Codeforces - 1191E - Tokitsukaze and Duel - 博弈论

Posted 2022-04-12 yinku

https://codeforc.es/contest/1191/problem/E

参考自：http://www.mamicode.com/info-detail-2726030.html
和官方题解。

首先这种组合游戏，必定存在一种不败策略。一种很直观的理解就是，假如没有办法一开始就胜利，那么就优先考虑和局的。
假如有连续k个一样的，那么先手可以进行一次无效翻转变成后手，所以这种情况先手必然至少和局。这样的话一次翻转之后就必然有连续k个一样的，后手也必定有了至少和局的机会，他也进行一次无效翻转。所以先手要赢的话，只能够在第一步直接赢，否则后手拥有了不败策略之后先手就不可能会有机会赢。

这种情况就判断除了某个k连续区间之外其他的是否全0或者全1，可以用前缀和O(n)预处理然后O(n)判断。

否则，一开始没有连续k个一样的，先手不可以进行一次无效的翻转。这种时候后手能赢的必要条件是在先手翻转了之后，后手第二步可以直接赢，否则后手虽然拥有了不败策略，但第三步开始先手也有了不败策略，会导致和局。那什么情况下可以获胜呢？是先手无论选择翻转哪一段，都会把情况转变为上面的情况。所以有一种优化是，后手能赢的必要条件是2*k>=n。因为先手一开始可以选择翻0或者翻1，后手必定要在下一次把全部翻成0或者全部翻成1才能获胜，否则先手一开始会捣乱，把一段连续k个的区间翻转到比如数字c，后手最佳策略必定是贪心在这个区间的两侧第一个非c开始再翻k个相同数字，即使这样也会有至少1个不一样，那么后手就失去了第二步赢的机会了。

所以就要判断无论翻转哪k个到c，剩下的非c必定集中存在于k区间的左侧或者右侧，且他们连续于k个位置，这样才能导致后手必胜。怎么判断呢？枚举先手翻转位置的起点，然后判断“集中于同侧？”，然后判断“连续于k个位置？”。“集中于同侧”这个好办，就选最左侧和最右侧的0和1记录下来O(1)验证是不是被包含在k区间里面。“连续于k个位置”就要找到k区间的向左或向右的最近的第一个非c位置x，然后看最左或者最右的非c（假如存在）是不是在[x-k+1,x]位置或者[x,x+k-1]内，这样是用尺取O(n)判断。