差分数组与前缀和

Posted 2022-04-12 mrpeng2333

1. 前缀和
   前缀和顾名思义就是前面i个数的总和。
   假设有一个序列A，前缀和为S。根据概念很容易知到公式
   \(S[i]=\displaystyle \sum_j=1^iA[j]\)

   如何求区间\([l,r]\)的和呢？
   \(sum[l,r]=s[r]-s[l-1]\)

   那如果要对多个不同区间

   \([l,r]\)进行加减操作呢？然后输出某个区间\([l,r]\)的区间和,接下来就要用到差分数组了

2. 差分数组

   设原数组为\(A[i]\),差分数组为\(B[i]\),则：

   \[B[i]=\begincases A[i]&i=1\\ A[i]-A[i-1]&i\geq2 \endcases\]

   差分数组的性质：

   • 如果对区间\([l,r]\)进行修改，只需修改\(B[l],B[r+1]\)(\(B[l]\)加上修改值，\(B[r+1]\)减去修改值）

   • \(A[i]=\displaystyle \sum_j=1^iB[j]\)（通过\(B[i]=A[i]-A[i-1]\)证明）

   • $S[x]=\displaystyle \sum_i=1^xA[i]=\displaystyle \sum_i=1^x \displaystyle \sum_j=1^iB[j]=\displaystyle \sum _i=1^x(x-i+1)*B[i] $

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有n个数。m个操作,每一次操作，将x~y区间的所有数增加z；

最后有q个询问，每一次询问求出x~y的区间和。

设原数组为\(A[i]\)

步骤：

• 先求出差分数组\(B[i]=A[i]-A[i-1]\)
• 在根据\(m\)个造作修改\(B[i]\)
• 求修改后的\(A[i]=A[i-1]+B[i]\)
• 求前缀和\(S[i]=S[i-1]+A[i]\)
• 最后输出区间和\(sum[x,y]=S[y]-S[x-1]\)

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举个栗子 航班预订统计

这道题很简单，没有要求输出区间和，也不用先求出差分数组

#include<iostream>
using namespace std;
int n;  //n个航班
int i;  //i条预定记录
int b[20005];   //差分数组

int main()

    cin>>n>>i;
    for(int j=0;j<i;j++)
    
        int x,y,z;  //[x,y]预定了z个座位
        cin>>x>>y>>z;
        b[x]+=z;
        b[y+1]-=z;
    
    for(int k=1;k<=n;k++)
    
        b[i]+=b[i-1];
        cout<<b[i]<<' ';
    
    

---

前面都是一维前缀和，再举个一位前缀和的栗子 最大子矩阵

没有涉及区间修改，只是求前缀和

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int m,n;    //整数矩阵
int x,y;    //所求子矩阵的长和宽
int b[1000][1000];
int ans;

int main()

    cin>>m>>n>>x>>y;
    int t;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        
            cin>>t;
            b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]+b[i-1][j-1]+t;
            if(i>=x&&j>=y)
                ans=max(ans,b[i][j]-b[i-x][j]-b[i][j-y]-b[i-x][j-y]);                
        
    cout<<ans<<endl;