HAOI2010 软件安装有依赖的背包DP

Posted 2022-04-09 starsing

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了HAOI2010 软件安装有依赖的背包DP相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

现在我们的手头有N个软件，对于一个软件i，它要占用Wi的磁盘空间，它的价值为Vi。我们希望从中选择一些软件安装到一台磁盘容量为M计算机上，使得这些软件的价值尽可能大(即Vi的和最大)。

但是现在有个问题：软件之间存在依赖关系，即软件i只有在安装了软件j(包括软件j的直接或间接依赖)的情况下才能正确工作(软件i依赖软件j)。幸运的是，一个软件最多依赖另外一个软件。如果一个软件不能正常工作，那么它能够发挥的作用为0。

我们现在知道了软件之间的依赖关系：软件i依赖软件Di。现在请你设计出一种方案，安装价值尽量大的软件。一个软件只能被安装一次，如果一个软件没有依赖则Di=0，这时只要这个软件安装了，它就能正常工作。

第1行：N，M (0<=N<=100．0<=M<=500)

第2行：W1，W2，…，Wi，…，Wn(0<=Wi<=M)

第3行：V1，V2，…，Vi，…，Vn(0<=Vi<=1000)

第4行：D1，D2，…，Di，…，Dn(0<=Di<=N，Di≠i)

一个整数，代表最大价值。

样例输入

样例输出

　　用这个题呢，首先来复习一下背包DP，f[i][v]=max(f[i][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]) 然后发现只从i-1到i转移，直接搞掉第一维，然后调整循环顺序，采用v到0的倒序保证只取一次，然后强一点的背包是完全和多重，完全可以把循环顺序反过来，保证随意取，而多重可以用二进制优化，当然单队也是可以的，这里不再赘述，具体可以参见DD大牛的背包九讲（看了很多遍），那么在简单的分组DP中，保证一个组只取一个或者不去，我们的转移应该这样写;

　　for 每一组

　　　　for v...0

　　　　　　for 每一个元素

　　　　　　　　f[i][v]=max(f[i][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i];

至于循环顺序，必须将枚举体积套在枚举每一元素的外面，如果放里面其实就和没有组别一样了，不能保证每组只能取一个。

　　有依赖的DP就和分组DP很像，我们可以把没有依赖的物品称主件，有依赖的称为附件，本题是在树上，那么一定要定义给以i为根的子树分配V的空间所能达到的最大价值，那然后发现多个儿子转移到父亲似乎不好转移，父亲好像要给儿子分配时间。

　　重新考虑一下，对于一个主件对应的几个附件可以看作是决策集合，那么这个集合在子树中有指数级多的的决策，怎么办呢？如果我们优化的话，对于每一个决策，我们要找相同体积找价值最大的，这是显然的，然后从子树转移过来的时候，我们会发现所谓的f[i][v]就是V体积下对应的那个最大的价值，决策已经保证最优，只要循环V转移即可，道理同上。

　　别的扯完了，我们可以看一看这个题目，每个物品只有一个出边，仍然可能是基环森林。。。。那么可以通过分析得到，这题取软件不分先后顺序，只要我的依赖取上就行，哪怕是在我后边取，那么一个环共生共灭，然后就可以缩点了，缩点真麻烦，缩完真简便。。。只要在缩完点的森林中建一个虚根0，价值和体积都为0,然后就成了0为根的一棵树，然后这个题就被我们一步一步肢解了。。

　　最后说一句，如何保证父亲不取的时候子树均不能做贡献。

　　（只要在第二层循环体积的时候只循环到v[x]，别的不更新即可。）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=150,V=550;
vector<int> q[N];
int fr[N],ft[N],s[N],w[N],v[N],size[N],stack[N],du[N],c[N],low[N],vi[N],wi[N],dfn[N],rt=-1,num,cnt,kt,top,n,m,tt,tp,f[N][V];
bool ins[N],b[N];
struct nodeint fr,to,pr;mo[N],no[N];
struct qeint a,b;;
int rd()

    char cc=getchar();
    int s=0,w=1;
    while(cc<‘0‘||cc>‘9‘) if(cc==‘-‘) w=-1;cc=getchar();
    while(cc>=‘0‘&&cc<=‘9‘) s=(s<<3)+(s<<1)+cc-‘0‘,cc=getchar();
    return s*w;

void init(int x,int y)

    no[++tp].fr=x;
    no[tp].to=y;
    no[tp].pr=ft[x];
    ft[x]=tp;du[y]++;

void add(int x,int y)

    mo[++tt].fr=x;
    mo[tt].to=y;
    mo[tt].pr=fr[x];
    fr[x]=tt;

void tarjan(int x)

    low[x]=dfn[x]=++num;
    stack[++top]=x;ins[x]=1;
    for(int i=fr[x];i;i=mo[i].pr)
    
        int y=mo[i].to;
        if(!dfn[y])
        
            tarjan(y);
            low[x]=min(low[x],low[y]);
        
        else if(ins[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    
    if(low[x]==dfn[x])
    
        int y,s=0;++cnt;
        do
            y=stack[top--];
            vi[cnt]+=v[y];
            wi[cnt]+=w[y];
            c[y]=cnt;
            ins[y]=0;
        while(x!=y);
    

void rebuild()

    for(int x=1;x<=n;x++) 
        for(int i=fr[x];i;i=mo[i].pr)
        
            int to=mo[i].to;
            if(c[x]!=c[to]) init(c[x],c[to]);
        
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        if(!du[i]) init(0,i);

void dp(int x)

    for(int i=m;i>=vi[x];i--) f[x][i]=max(f[x][i],f[x][i-vi[x]]+wi[x]);
    for(int i=ft[x];i;i=no[i].pr)
    
        int to=no[i].to;
        dp(to);
        for(int i=m;i>=vi[x];i--)
            for(int j=0;j<=i-vi[x];j++)
            f[x][i]=max(f[x][i],f[x][i-j]+f[to][j]);
    

int main()

    n=rd();m=rd();
    int x,y,mn=-0x7fffffff;
    for(int i=1;i<=n;i++) v[i]=rd();
    for(int i=1;i<=n;i++) w[i]=rd();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    
        x=rd();
        if(x!=0) add(x,i);
    
    for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);
    rebuild();
    dp(0);
    printf("%d\n",f[0][m]);

/*
g++ 1.cpp -o 1
./1
4 15
3 2 5 5
3 2 10 7
3 1 2 1
*/