luogu P1052 过河

Posted 2022-04-08 qxyzili--24

先看一下题面。

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背景

　　这道2005年的提高组时至今日仍然评级在提高+/省选-，由此可见这题确实不简单。

　　虽然都说是很简单的DP了，但是坑点依然很多。

分析

不过我开始并没有看出来是DP。

　　那自然考虑搜索啦~ 

 

 

　　首先考虑搜索在渡河的途中，踩到的最小石子数量。

　　然而1..10^9长度的桥。就算是O(n)的算法也不能在一秒内出解。

　　那么尝试去搜搜石子吧？

　　搜一个石子就需要考虑来源和去路，导致算法更困难了。。。

那么就只能DP了啊。

　　以石子分阶段的一维动规，时间复杂度是O(n^2)。

　　最多也只有100×100的时间。但是这样分状态就十分复杂。

　　因为石头的分布是没有任何规律，而且会有后效性。

　　？？？？？？？？？？？？？？？

　　这题怎么做啊？？？？？？？？？

　　然后我就去买了杯可乐，回来写了个爆搜加了点剪枝，搞了一组数据。

　　然后蒟蒻我就开始面向数据编程研究数据，然后我就发现了一个神奇的东西¿

　　虽然桥的长度......

　　然而，石子的数量......【日常看数据范围不看全系列

　　吼啊，离散化准备¿

　　？？？？？？？？？？？？？？？？

　　真？dp+离散化？

　　可以的！

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方法一：DP+离散化

　　首先轻松写出DP方程
　　　　　　　　f [ i ] = min（ f [ i−j ] + flag [ i ] ）（s<=j<=t）

　　我们可以发现当两点间的距离d大于t时，一定可以由d%t跳过来。

　　所以最多只需要t+d%t种距离的状态，就可以表示这两个石子之间的任意距离关系。

　　这样就把题目中的10^9压缩成了2*t*m最多不超过2000，然后就可以放心大胆地用DP了

代码奉上【同机房大佬友情赞助 这么丑代码怎么可能是我写的

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std ;

long long l,s,t,m,a[20010],dis[20010],ans,flag[20010];
long long dp[20010];

int main()
	scanf("%lld",&l);
	scanf("%lld%lld%lld",&s,&t,&m);
	if(s == t) 
		long long what;
		for(int i=1;i<=m;i++) 
			scanf("%lld",&what);
			ans += ((what % s) == 0);	
		
		printf("%lld\\n",ans);
		return 0;
	
	else 
		long long tp = 0;
		for(int i=1;i<=m;i++)
			scanf("%lld",&a[i]);
		
		sort(a+1,a+1+m);
		for(int i=1;i<=m;i++)
			dis[i] = min(a[i] - a[i-1] , (long long)90);
			tp += dis[i];
			flag[tp] = 1;
		
		dis[m+1] = min((long long)100,l - a[m]);
		tp += dis[m+1];
		for(int i=1;i<=tp+9;i++) 
			dp[i] = 0x6fffffff;
			for(int j=s;j<=t;j++) 
				if(i>=j) dp[i] = min(dp[i-j] + flag[i] , dp[i]);
			
		
		ans = 0x6fffffff;
		for(int i=tp;i<=tp+9;i++) 
			ans = min (ans, dp[i]);
		
		printf("%lld\\n",ans);
		return 0;
	

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怎么可能只有一种做法？

　　我们来仔细想想，画个图手玩一下。

　　假如 s < t ,青蛙一定会跳到一个特殊的位置，s*t。

　   即当s < t时， s和t一定会重合（当距离为lcm(s,t)即s，t的最小公倍数时） 。

　　然后我们继续向后看，可以发现 s*t 以后的每个点都可以到达，。

　　所以我们只需将每两个石头超过 s*t 的距离缩成 s*t 就可以了

顺便带来一波数学证明。

　　

 图片来源是luogu中的 Panda_hu 的题解。

方法二：路径压缩

　　代码奉上

　　

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

long long l;
int s,t,M;
int m[101],sum[10001];
int q[10000001];

int cmp(int a,int b) 
    return a<b;

 
int main()

    scanf("%lld%d%d%d",&l,&s,&t,&M);
    for(int i=1;i<=M;i++) 
        scanf("%d",&m[i]);
    sort(m+1,m+M+1,cmp);
    int temp=0;
    for(int i=1;i<=M;i++) 
        if(m[i]-m[i-1]<=t*s)
            temp+=m[i]-m[i-1];
        else 
            temp+=(m[i]-m[i-1])%(s*t)+s*t;
        q[temp]=1;
    
    memset(sum,0x3f,sizeof sum);
    sum[0]=0;
    for(int i=1;i<=temp+t;i++) 
        for(int j=s;j<=t;j++) 
            if(i-j<0) 
                continue;
            sum[i]=min(sum[i],sum[i-j]+q[i]);
        
    
    int ans=0x3f3f3f3f;
    for(int i=temp+t-s;i<=temp+t;i++) 
        ans=min(ans,sum[i]);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;

　　

 

 

AC愉快！！！！！！！！！！！