luogu P1052 过河

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了luogu P1052 过河相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

先看一下题面。

技术图片

技术图片


背景

  这道2005年的提高组时至今日仍然评级在提高+/省选-,由此可见这题确实不简单。

  虽然都说是很简单的DP了,但是坑点依然很多。

分析

不过我开始并没有看出来是DP。

  那自然考虑搜索啦~ 

 

 

  首先考虑搜索在渡河的途中,踩到的最小石子数量。

  然而1..10^9长度的桥。就算是O(n)的算法也不能在一秒内出解。

  那么尝试去搜搜石子吧?

  搜一个石子就需要考虑来源和去路,导致算法更困难了。。。

那么就只能DP了啊。

  以石子分阶段的一维动规,时间复杂度是O(n^2)。

  最多也只有100×100的时间。但是这样分状态就十分复杂。

  因为石头的分布是没有任何规律,而且会有后效性。

  ???????????????

  这题怎么做啊?????????

  然后我就去买了杯可乐,回来写了个爆搜加了点剪枝,搞了一组数据。

  然后蒟蒻我就开始面向数据编程研究数据,然后我就发现了一个神奇的东西¿

  虽然桥的长度技术图片......

  然而,石子的数量技术图片......【日常看数据范围不看全系列

  吼啊,离散化准备¿

  ????????????????

  真?dp+离散化?

  可以的!


 

方法一:DP+离散化

  首先轻松写出DP方程
        min( ifla] )(s<=j<=t)

  我们可以发现当两点间的距离d大于t时,一定可以由d%t跳过来。

  所以最多只需要t+d%t种距离的状态,就可以表示这两个石子之间的任意距离关系。

  这样就把题目中的10^9压缩成了2*t*m最多不超过2000,然后就可以放心大胆地用DP了

代码奉上【同机房大佬友情赞助 这么丑代码怎么可能是我写的

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std ;

long long l,s,t,m,a[20010],dis[20010],ans,flag[20010];
long long dp[20010];

int main()
	scanf("%lld",&l);
	scanf("%lld%lld%lld",&s,&t,&m);
	if(s == t) 
		long long what;
		for(int i=1;i<=m;i++) 
			scanf("%lld",&what);
			ans += ((what % s) == 0);	
		
		printf("%lld\\n",ans);
		return 0;
	
	else 
		long long tp = 0;
		for(int i=1;i<=m;i++)
			scanf("%lld",&a[i]);
		
		sort(a+1,a+1+m);
		for(int i=1;i<=m;i++)
			dis[i] = min(a[i] - a[i-1] , (long long)90);
			tp += dis[i];
			flag[tp] = 1;
		
		dis[m+1] = min((long long)100,l - a[m]);
		tp += dis[m+1];
		for(int i=1;i<=tp+9;i++) 
			dp[i] = 0x6fffffff;
			for(int j=s;j<=t;j++) 
				if(i>=j) dp[i] = min(dp[i-j] + flag[i] , dp[i]);
			
		
		ans = 0x6fffffff;
		for(int i=tp;i<=tp+9;i++) 
			ans = min (ans, dp[i]);
		
		printf("%lld\\n",ans);
		return 0;
	

怎么可能只有一种做法?

  我们来仔细想想,画个图手玩一下。

  假如 s < t ,青蛙一定会跳到一个特殊的位置,s*t。

    即当s < t时, st一定会重合(当距离为lcm(s,t)即st的最小公倍数时) 。

  然后我们继续向后看,可以发现 s*t 以后的每个点都可以到达,。

  所以我们只需将每两个石头超过 s*t 的距离缩成 s*t 就可以了

顺便带来一波数学证明。

  技术图片

 图片来源是luogu中的 Panda_hu 的题解。

方法二:路径压缩

  代码奉上

  

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

long long l;
int s,t,M;
int m[101],sum[10001];
int q[10000001];

int cmp(int a,int b) 
    return a<b;

 
int main()

    scanf("%lld%d%d%d",&l,&s,&t,&M);
    for(int i=1;i<=M;i++) 
        scanf("%d",&m[i]);
    sort(m+1,m+M+1,cmp);
    int temp=0;
    for(int i=1;i<=M;i++) 
        if(m[i]-m[i-1]<=t*s)
            temp+=m[i]-m[i-1];
        else 
            temp+=(m[i]-m[i-1])%(s*t)+s*t;
        q[temp]=1;
    
    memset(sum,0x3f,sizeof sum);
    sum[0]=0;
    for(int i=1;i<=temp+t;i++) 
        for(int j=s;j<=t;j++) 
            if(i-j<0) 
                continue;
            sum[i]=min(sum[i],sum[i-j]+q[i]);
        
    
    int ans=0x3f3f3f3f;
    for(int i=temp+t-s;i<=temp+t;i++) 
        ans=min(ans,sum[i]);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;

  

 

 

AC愉快!!!!!!!!!!!

 

以上是关于luogu P1052 过河的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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