占梦人

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了占梦人相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

占梦人一个晚上会做 n 个梦,编号为 1 ∼ n,她可以安排做这 n 个梦的顺序。 假如她第一个做了编号为 x 的梦,那么她的初始灵力值就是 x。接着,如果她在灵力值为 x 的时候 做了编号为 y 的梦,他的灵力值会变成 gcd(x,y)。
只有当灵力值改变时,她才可能预言到一些事情。
她希望能预测到的事情尽量多,那么有多少种安排去做 n 个梦寻找的顺序呢? 请给出答案 %1000000007 的结果。

题目翻译如下:

问有多少个 1 ∼n 的排列 使得 b1 = a1 , bi = gcd(bi−1,ai),bi 的种类最多。

这是思路:

对于所有满足f(p)=fmax(n)的排列,它们的首个元素s必然有最多的质因数。每次gcd改变时,只能从其中拿走一个质因数,这样我们可以保证有尽可能多的独特gcd。 而对于s有两条推论:

推论1:s=2^x*3^y,即s只能被2和3整除,因为如果s有其他的质因数p(p>4),我们可以s/p*4,这样可以得到更多质因数。

推论2:y<=1, 因为如果s=2^x*3^y,y>=2,我们可以让s=s/9*8,变为2^(x+3)*3^(y-2),由此得到更多质因数

建立dp[i][x][y], 表示到下标i为止,满足要求的排列个数,并且gcd为2^x*3^y. 定义一个函数f(x,y)表示2^x*3^y的倍数个数,且这些倍数<=n

对于p(i+1)有3个方程:

加上2^x*3^y的倍数,gcd不改变,可以加f(x,y)个数,但是已经加了i个

dp[i+1][x][y]=dp[i+1][x][y]+dp[i][x][y](f(x,y)i)

x减少1,加上是2^(x-1)*3^y的倍数同时不是2^x*3^y的倍数

dp[i+1][x1][y]=dp[i+1][x1][y]+dp[i][x][y](f(x1,y)f(x,y))

y减少1,加上是2^x*3^(y-1)的倍数同时不是2^x*3^y的倍数

dp[i+1][x][y1]=dp[i+1][x][y1]+dp[i][x][y](f(x,y1)f(x,y))

总是可以以2^x开始,所以dp[1][x][0]=1;

同时如果2^(x-1)*3<=n,也可以以此开始,所以dp[1][x-1][1]=1

ans=dp[n][0][0]。

代码如下:

      

#include <iostream>
using namespace std;
#define mod 1000000007
int n,dp[1000005][21][2];
int f(int x,int y)

    int tmp=(1<<x);
    if (y)
    tmp*=3;
    return n/tmp;

int main()

    scanf("%d",&n);
    int p=0;
    while ((1<<p)<=n)
    p++;
    p--;
    dp[1][p][0]=1;
    if ((1<<(p-1))*3<=n)
    dp[1][p-1][1]=1;
    for (int i=1;i<n;i++)
    
        for (int x=0;x<=p;x++)
        
            for (int y=0;y<=1;y++)
            
                dp[i+1][x][y]=(dp[i+1][x][y]+1LL*dp[i][x][y]*(f(x,y)-i))%mod;
                if (x)
                dp[i+1][x-1][y]=(dp[i+1][x-1][y]+1LL*dp[i][x][y]*(f(x-1,y)-f(x,y)))%mod;
                if (y)
                dp[i+1][x][y-1]=(dp[i+1][x][y-1]+1LL*dp[i][x][y]*(f(x,y-1)-f(x,y)))%mod;
            
        
    
    printf("%d",dp[n][0][0]);

这是一道数论题,我不是十分擅长,所以做起来很吃力。还是要努力学习!

 

以上是关于占梦人的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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