梯度方程

Posted 2022-04-01 analysis-pde

　　一个自然的问题给定一个$n$维$C^1$向量$\vecA(x)$, 能否找到一个位势函数$u$使得， $\nabla u=\vecA$?  

当$\forall  i\neq j$, $\frac\partial A_i(x)\partial x_j=\frac\partial A_j(x)\partial x_i$ 时，可以局部的找到。这其实就是外微分形式的Poincare引理的特殊情形，然后下面给出一个直接的证明。

考虑  $u(x)=\int_0^1 A_i(tx)x_idt$，下面直接求导验证.

$\frac\partial u\partial x_j=\int_0^1\frac\partial A_i(tx)\partial p_kt\delta _kjx_i+A_i(tx)\delta_ijdt$

 $ =\int_0^1\frac\partial A_i(tx)\partial p_jtx_i+A_j(tx)dt$

$ =\int_0^1\frac\partial A_j(tx)\partial p_it x_idt+\int_0^1A_j(tx)dt$

 $ =\int_0^1\fracd A_j(tx)dttdt+\int_0^1A_j(tx)dt$

最后通过对$t$分部积分或者全微分就可以得到，

 $ =\int_0^1\fracd( tA_j(tx))dtdt$

 $ =A_j(x)$.