绕圈跑 题解

Posted 2022-03-31 little-aztl

一、题目：

二、思路：

这是一道非常有代表性的题目，之前也同样碰到过类似这个题的难点。希望读者朋友能够耐心读完。

首先将v数组排序，最大的速度设为\(v_m\)。

设\[T=\frac l\times c v_m\]表示最快的人跑完所花费的时间，即比赛的总时间。

对于每个（i,j），设\(V_i>V_j\)，则i同学追上j同学一圈所需时间为\(\frac cV_i-V_j\).由于总时间为T，则能追上圈数为\[\lfloor \fracT\fraccv_i-v_j \rfloor\].即\[\lfloor \frac l\times v_iv_m-\fracl\times v_jv_m \rfloor\].
如果我们能把它拆成\[\lfloor \frac l\times v_iv_m \rfloor-\lfloor \fracl\times v_jv_m \rfloor\]就很棒了。我们就可以在瞬间计算出i的答案。

那么我们考虑这两个式子有什么区别。

设\(X_i=\lfloor l*v_i/v_m \rfloor\),\(Y_i=(l*v_i)\mod v_m\).
则\(l*v_i=X_i*v_m +Y_i\).

那么\[\lfloor \frac l\times v_iv_m-\fracl\times v_jv_m \rfloor\]
\[=X_i-X_j+\lfloor \fracY_i-Y_jV_m\rfloor\].

如果\(Y_i-Y_j>=0\),那么\(\lfloor \fracY_i-Y_jV_m\rfloor=0\)，上面两个式子就是相等的。
如果\(Y_i-Y_j<0\),那么\(\lfloor \fracY_i-Y_jV_m\rfloor=-1\)，这两个式子有1的差别。

于是我们对于每个i，用权值树状数组维护出有多少个j满足\(Y_j>Y_i\)，整道题就获得了解决。

小结一下，有很多问题都必须使用下取整，这时候用这种方法就可以高效的维护这些信息了。

三、代码：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 3;

int n, c, t, Vmax, tr[N];
ll ans, sum, l;
struct cow 
    int speed, rank;
    cow(): speed(0), rank(0)
    
    bool operator < (const cow &b) const 
        return speed < b.speed;
    
 a[N];
struct BIT 
    int f[N];
    BIT() memset(f, 0, sizeof(f)); 
    
    void Insert(int x) 
        for (; x <= t; x += x & -x)
            ++f[x];
    
    
    int Query(int x) 
        int res = 0;
        for (; x; x -= x & -x)
            res += f[x];
        return res;
    
 Bit;

int main() 
    freopen("running.in", "r", stdin);
    freopen("running.out", "w", stdout);
    scanf("%d%I64d%d", &n, &l, &c);//人数、圈数、一圈长度 
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d", &a[i].speed);
    sort(a + 1, a + n + 1);
    Vmax = a[n].speed;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        tr[i] = a[i].rank = l * a[i].speed % Vmax;
    sort(tr + 1, tr + n + 1);
    t = unique(tr + 1, tr + n + 1) - tr - 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        a[i].rank = lower_bound(tr + 1, tr + t + 1, a[i].rank) - tr;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) 
        ll cur = l * a[i].speed / Vmax;
        ans += cur * (i - 1) - sum - (i - 1) + Bit.Query(a[i].rank);//这里的树状数组正好维护的信息反了，它维护的是有多少个Yj<=Yi,所以用i-1减去它就可以了。
        sum += cur;
        Bit.Insert(a[i].rank);
    
    cout << ans << endl;
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;