一维数组中的任意二元素交换最多只能将整个序列的逆序对数减少1

Posted 2022-03-31 tztqwq

这是对的，值得思考，毕竟应用不是太少（所以要说服自己，用的时候更有底气）。

设一序列\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)，其中有\(a_i(1\leq i \leq n)\)。

假设要通过交换\(a_i\)与某个数的位置来减少逆序对的数量。

交换的对象分这么几类:

1.\(a_i\)后面比\(a_i\)小的数

2.\(a_i\)后面比\(a_i\)大的数

3.\(a_i\)前面比\(a_i\)小的数

4.\(a_i\)前面比\(a_i\)大的数

假设交换的对象是\(a_j\)

前置说明（i-j之间不包括i、j）

第一种情况:
显然减少一个逆序对数

由于i,j被swap过，

\(a_i\)与且仅与\(i-j\)之间元素的相对位置发生改变，\(a_j\)同样。

那么逆序对数还要加上i-j之间比k大的数和i-j之间比j小的数，还要减上i-j之间比k小的数和i-j之间比j大的数。

到头来总逆序对数还是只减了1。

第二种情况：
显然增加一个逆序对数

由于i、j被swap过，同上，到头来逆序对数还是只加了1.

第三种情况：
同上，增加一个逆序对数

第四种情况：
同上，减少一个逆序对数。