两角和与差的三角函数

Posted 2022-03-31 guoshaoyang

1. 概述
   1. 此章节主要是背公式，内容不多，但公式的应用很重要，需要熟记
   2. 本章虽然有许多公式，但核心是两角的和差公式，其他的所有公式都是由和差公式变形产生的
2. 和差公式
   1. $sin(\\alpha \\pm \\beta)=sin \\alpha cos \\beta \\pm cos \\alpha sin \\beta$
   2. $cos(\\alpha \\pm \\beta)=cos \\alpha cos \\beta \\mp sin \\alpha sin \\beta$
      1. 已知：如图，$\\angle MOQ=\\alpha , \\angle POQ = \\beta$
         求证：$OM=cos(\\alpha - \\beta)$

         1. 先将OM拆解成在带有$\\alpha$的三角形的边
            $OM=ON+MN$

         2. 将$ON , MN$用$\\alpha$表示
            $ON=OA \\ast cos \\alpha$
            $MN=AP \\ast sin \\alpha$

         3. 将$OA , AP$用$\\beta$表示
            $OA=OP\\ast cos \\beta$
            $AP=OP\\ast sin \\beta$

         4. 归并得
            $OM=ON+MN=OP cos \\alpha cos \\beta + OP sin \\alpha sin \\beta$
   3. $tan(\\alpha \\pm \\beta)=\\fractan \\alpha \\pm tan \\beta1 \\mp tan \\alpha tan \\beta$

3. 衍生的公式

   1. 二倍角公式
      将相等的值代入和差公式即可

      1. $sin 2\\alpha= 2sin \\alpha cos \\alpha$

      2. $cos 2\\alpha= cos^2 \\alpha-sin^2 \\alpha=2cos^2 \\alpha-1=1-2sin^2\\alpha$

      3. $tan 2\\alpha=\\frac2 tan \\alpha1-tan^2\\alpha$

   2. 有关公式的逆用和变形等

      1. $tan \\alpha \\pm tan \\beta= tan(\\alpha \\pm \\beta)(1 \\mp tan \\alpha tan \\beta)$

      2. $cos^2\\alpha=\\fraccos 2\\alpha+12　　sin^2 \\alpha=\\frac1-cos 2\\alpha2$

      3. $1+sin 2a=(sin a+ cos a) 1-2sin 2a=(sin a-cos a)

   3. 辅助角公式

      1. 函数$f(\\alpha)= a sin \\alpha+ b cos \\alpha(a、b为常数)$,可以化为

         1. $f(\\alpha)=sqrta^2+b^2sin(\\alpha+\\phi)(其中tan \\phi=\\fracba$

            1. $\\fraca\\sqrta^2+b^2=cos \\phi \\Rightarrow \\fracb\\sqrta^2+b^2=sin \\phi$（$\\sqrta^2+b^2$是单位一）
            2. $f(\\alpha)=a sin \\alpha+b sin\\alpha$
               $=\\sqrta^2+b^2(sin\\alpha\\ast\\fracasqrta^2+b^2+cos\\alpha\\fracb\\sqrta^2+b^2)$
               $=\\sqrta^2$

         2. $f(\\alpha)=sqrta^2+b^2cos(\\alpha-\\phi)(其中tan \\phi=\\fracab$