LuoguP3959 宝藏 题解

Posted 2022-03-30 riverhamster

思路主要是抄_rqy的，这神仙位运算tql，整理一下思路。

题目大意

给定\(n\)个点，\(m\)条有权边，从一个点\(s\)开始挖（任选），形成一个生成树（即已经挖通的两个点间不能连边），挖一条边的代价为边的长度乘\(s\)到边的终点的距离，求最小代价。

\(n \leq 12\)

思路

状压dp。

和一般的状压dp不一样，需要进行两层状压。

设\(f[S][d][i]\)为挖开点集\(S\)，现在距离起点的距离为\(d\)，所在的点为\(i\)的最小代价。

则\[f[S][d][i] = \min_S_1\subset S^k\in S1 w(i, k)(d+1) + f[S1-\k\][d+1][k] + f[S-S1][d][i]\]

其中\(i \notin S, d+|S| \leq n\)，因为当前至少已经挖开了\(d\)个点，最多只能挖开\(n-d\)个点。

初始化：\(f[0][d][i] = 0\)

注意\(S\)从小到大，\(d\)从大到小。

最终结果就是\[\min_i=1^nS[U-\i\][0][i]\]

复杂度

对于整个图，分成子集大小是\(1\)到\(n\)的考虑。
\[T(n) = \sum_i=1^n C_n^i 2^i = (2+1)^n = 3^n\]

（二项式定理，大小为\(i\)的集合有\(C_n^i\)个，它的子集有\(2^i\)个）

Code

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define File(IO_Filename) freopen(IO_Filename".in", "r", stdin), freopen(IO_Filename".out", "w", stdout)
typedef long long ll;
template<typename T> inline void in(T &x)
  char ch; x = 0;
  while(isspace(ch = getchar()));
  do x = x * 10 + ch - '0'; while(isdigit(ch = getchar()));

const int N = 13, INF = 0x3f3f3f3f;
int w[N][N], pc[1<<N], low[1<<N]; //pc表示集合的元素个数，low表示集合内最小的元素（用来取子集）
int f[1<<N][N][N];

void wrbin(int x)
  if(x == 0) return ;
  wrbin(x >> 1);
  putchar('0' + (x & 1));


int main()
  // File("3959");
  int n, m, x, y, wt, tot;
  in(n); in(m);
  memset(w, 0x3f, sizeof(w)); memset(f, 0x3f, sizeof(f));
  for(int i=1; i<=m; i++)
    in(x); in(y); in(wt); --x; --y;
    w[x][y] = w[y][x] = min(w[x][y], wt);
  
  tot = 1 << n;

  for(int i=0; i<tot; i++) pc[i] = pc[i & (i-1)] + 1;
  for(int i=0; (1 << i) < tot; i++) low[1 << i] = i;
  for(int i=0; i<tot; i++) low[i] = low[i & (-i)];
  for(int d=n-2; d>=0; d--)
    for(int i=0; i<n; ++i)
      f[0][d][i] = 0;

  for(int d=n-2; d>=0; --d)
    for(int i=0; i<n; ++i)
      for(int S=1; S<tot; ++S) if(pc[S] <= n - d && (S & (1 << i)) == 0) //优化
        for(int S1=S; S1; S1=(S1-1)&S) //取S的子集S1
          for(int t=S1, k=low[t]; t; t&=(t-1), k=low[t]) //取S1的所有元素
            if(w[i][k] != INF && f[S1-(1<<k)][d+1][k] != INF && f[S-S1][d][i] != INF)
              f[S][d][i] = min(f[S][d][i],
                       w[i][k] * (d+1) + f[S1-(1 << k)][d+1][k] + f[S-S1][d][i]);
          
        
    
  int ans = INF;
  for(int i=0; i<n; i++)
    ans = min(ans, f[tot-1-(1<<i)][0][i]);
  printf("%d\n", ans);
  return 0;