LG4723 模板常系数齐次线性递推

Posted 2022-03-21 autoint

P4723 【模板】常系数齐次线性递推

题目描述

求一个满足$k$阶齐次线性递推数列$a_i$的第$n$项。

即：$a_n=\sum\limits_i=1^kf_i \times a_n-i$

输入输出格式

输入格式：

第一行两个数$n$,$k$，如题面所述。

第二行$k$个数，表示$f_1 \ f_2 \ \cdots \ f_k$

第三行$k$个数，表示$a_0 \ a_1 \ \cdots \ a_k-1$

输出格式：

一个数，表示 $a_n \% 998244353$ 的值

输入输出样例

输入样例#1： 复制

6 4
3 -1 0 4
-2 3 1 5

输出样例#1： 复制

73

说明

$N = 10^9 , K = 32000 $

题解

先修《数学选修4-2：矩阵与变换》。

常系数齐次线性递推

给出递推式\(f_n=\sum_i=1^ka_if_n-i\)，和初值条件\(f_1,f_2,\dots ,f_k\)，求\(f_n\)。

可以用生成函数解一下，然后多项式求逆，\(O(n\log n)\)。当然这对于\(n=10^9\)的数据范围是不行的。

矩阵快速幂解法

由递推式，构造矩阵和列向量
\[ A=\beginbmatrix 0 & 1 & 0 & \dots & 0\0 & 0 & 1 & \dots & 0\0 & 0 & 0 & \dots & 0\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\0 & 0 & 0 & \dots & 1\a_1 & a_2 & a_3 & \dots & a_k \endbmatrix ,F=\beginbmatrix f_1\f_2\f_3\\vdots\f_k \endbmatrix \]

计算\(A^n-kF\)即可，\(O(k^3\log n)\)。然而这对于\(k=32000\)的数据范围还是不行。

矩阵的特征值和特征向量

\(A^nF\)是线性变换的形式，自然也可以用特征值与特征向量来求解。

特征多项式是\(f_A(\lambda)=|A-\lambda I|\)，于是特征方程为
\[ \det\beginbmatrix -\lambda & 1 & 0 & \dots & 0\0 & -\lambda & 1 & \dots & 0\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\0 & 0 & 0 & \dots & 1\a_1 & a_2 & a_3 & \dots & a_k-\lambda \endbmatrix=0 \]
手动高斯消元，消成上三角可得
\[ (a_k-\lambda+\fraca_k-1\lambda+\fraca_k-2\lambda^2+\dots+\fraca_1\lambda^k-1)(-\lambda)^k-1=0\a_1+a_2\lambda+a_3\lambda^2+\dots+a_k\lambda^k-1=\lambda^k \]
然后呢，把特征值解出来然后用特征向量那套理论吗？虽然这种方法可行，但是只能做低次的（4次及以下），所以我们需要新科技。

矩阵的多项式

对于\(n\)次多项式\(f(x)\)，将矩阵\(A\)看做自变量带入，得
\[ f(A)=a_0E+\sum_i=1^na_iA^i \]
记\(f(A)\)为\(A\)的\(n\)次多项式。与另一个\(A\)的\(m\)次多项式\(g(A)\)，其乘法运算满足交换律，即
\[ f(A)g(A)=g(A)f(A) \]

Cayley-Hamilton 定理

特征多项式\(f_A(x)=\sum_i=0^k-1a_i+1x^i-x^k\)，这里注意下标。

定理：\(f_A(A)=0\)，即矩阵被自己的特征多项式化零。记忆方法：\(f_A(A)=|A-AI|=0\)。

推论：\(A^n=q(A)f_A(A)+r(A)=r(A)\)，其中\(r(A)=A^n\mod f_A(A)\)。

所以\(A^nF=r(A)F=\sum_i=0^k-1r_iA^iF\)，\(O(k^4)\)。？？？

多项式优化

将Cayley-Hamilton定理的推论变成普通多项式：\(x^n=q(x)f_A(x)+r(x)\)，其中\(r(x)=x^n\mod f_A(x)\)。

于是我们可以对多项式\(x\)做快速幂并取模\(f_A(x)\)，即可得出\(r(x)\)的系数，即\(r(A)\)的系数，\(O(k\log k\log n)\)。

而\(A^iF=\beginbmatrixf_1+i & f_2+i & \dots & f_k+i\endbmatrix^T\)，所以\(f_n+k=\sum_i=0^k-1r_if_k+i\)。

问题转化成了如何求\(f\)的前\(2k\)项。这时使用生成函数和多项式求逆，\(O(k\log k)\)。

于是我们便得到了\(O(k\log k\log n+k\log k+k)\)的优秀解法。