算法详解之最近公共祖先(LCA)

Posted 2022-03-21 hulean

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概念

首先是最近公共祖先的概念(什么是最近公共祖先？)：

在一棵没有环的树上，每个节点肯定有其父亲节点和祖先节点，而最近公共祖先，就是两个节点在这棵树上深度最大的公共的祖先节点。

换句话说，就是两个点在这棵树上距离最近的公共祖先节点。

所以LCA主要是用来处理当两个点仅有唯一一条确定的最短路径时的路径。

有人可能会问：那他本身或者其父亲节点是否可以作为祖先节点呢？

答案是肯定的，很简单，按照人的亲戚观念来说，你的父亲也是你的祖先，而LCA还可以将自己视为祖先节点。

举个例子吧，如下图所示4和5的最近公共祖先是2，5和3的最近公共祖先是1，2和1的最近公共祖先是1。　

这就是最近公共祖先的基本概念了，那么我们该如何去求这个最近公共祖先呢？

通常初学者都会想到最简单粗暴的一个办法：对于每个询问，遍历所有的点，时间复杂度为\\(O(n*q)\\) ，很明显，n和q一般不会很小。

怎么办办？

LCA其实有很多种解法，这里介绍几一个

Tarjan大法好！

什么是Tarjan(离线)算法呢？顾名思义，就是在一次遍历中把所有询问一次性解决，所以其时间复杂度是\\(O(n+q)\\)。

Tarjan算法的优点在于相对稳定，时间复杂度也比较居中，也很容易理解。

下面详细介绍一下Tarjan算法的基本思路：

1. 任选一个点为根节点，从根节点开始。

2. 遍历该点u所有子节点v，并标记这些子节点v已被访问过。

3. 若是v还有子节点，返回2，否则下一步。

4. 合并v到u上。

5. 寻找与当前点u有询问关系的点v。

6. 若是v已经被访问过了，则可以确认u和v的最近公共祖先为v被合并到的父亲节点a。

遍历的话需要用到dfs来遍历(相信来看的人都懂吧...)，至于合并，最优化的方式就是利用并查集来合并两个节点。

• 伪代码

Tarjan(u)//marge和find为并查集合并函数和查找函数

    for each(u,v)    //访问所有u子节点v
    
        Tarjan(v);        //继续往下遍历
        marge(u,v);    //合并v到u上
        标记v被访问过;
    
    for each(u,e)    //访问所有和u有询问关系的e
    
        如果e被访问过;
        u,e的最近公共祖先为find(e);
    

个人感觉这样还是有很多人不太理解，所以打算模拟一遍给大家看。

假设我们有一组数据 9个节点 8条边 联通情况如下：

1--2，1--3，2--4，2--5，3--6，5--7，5--8，7--9 即下图所示的树

设我们要查找最近公共祖先的点为9--8，4--6，7--5，5--3；

设f[]数组为并查集的父亲节点数组，初始化f[i]=i，vis[]数组为是否访问过的数组，初始为0;　

下面开始模拟过程：

取1为根节点，往下搜索发现有两个儿子2和3；

先搜2，发现2有两个儿子4和5，先搜索4，发现4没有子节点，则寻找与其有关系的点；

发现6与4有关系，但是vis[6]=0，即6还没被搜过，所以不操作；

发现没有和4有询问关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[4]=1；

表示4已经被搜完，更新f[4]=2，继续搜5，发现5有两个儿子7和8;

先搜7，发现7有一个子节点9，搜索9，发现没有子节点，寻找与其有关系的点；

发现8和9有关系，但是vis[8]=0,即8没被搜到过，所以不操作；

发现没有和9有询问关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[9]=1；

表示9已经被搜完，更新f[9]=7，发现7没有没被搜过的子节点了，寻找与其有关系的点；

发现5和7有关系，但是vis[5]=0，所以不操作；

发现没有和7有关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[7]=1；

表示7已经被搜完，更新f[7]=5，继续搜8，发现8没有子节点，则寻找与其有关系的点；

发现9与8有关系，此时vis[9]=1，则他们的最近公共祖先为find(9)=5；

(find(9)的顺序为f[9]=7-->f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)

发现没有与8有关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[8]=1；

表示8已经被搜完，更新f[8]=5，发现5没有没搜过的子节点了，寻找与其有关系的点；

发现7和5有关系，此时vis[7]=1，所以他们的最近公共祖先为find(7)=5；

(find(7)的顺序为f[7]=5-->f[5]=5 return 5;)

又发现5和3有关系，但是vis[3]=0，所以不操作，此时5的子节点全部搜完了；

返回此前一次搜索，更新vis[5]=1，表示5已经被搜完，更新f[5]=2；

发现2没有未被搜完的子节点，寻找与其有关系的点；

又发现没有和2有关系的点，则此前一次搜索，更新vis[2]=1；

表示2已经被搜完，更新f[2]=1，继续搜3，发现3有一个子节点6；

搜索6，发现6没有子节点，则寻找与6有关系的点，发现4和6有关系；

此时vis[4]=1，所以它们的最近公共祖先为find(4)=1;

(find(4)的顺序为f[4]=2-->f[2]=2-->f[1]=1 return 1;)

发现没有与6有关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[6]=1，表示6已经被搜完了；

更新f[6]=3，发现3没有没被搜过的子节点了，则寻找与3有关系的点；

发现5和3有关系，此时vis[5]=1，则它们的最近公共祖先为find(5)=1；

(find(5)的顺序为f[5]=2-->f[2]=1-->f[1]=1 return 1;)

发现没有和3有关系的点了，返回此前一次搜索，更新vis[3]=；

更新f[3]=1，发现1没有被搜过的子节点也没有有关系的点，此时可以退出整个dfs了。

经过这次dfs我们得出了所有的答案，有没有觉得很神奇呢？是否对Tarjan算法有更深层次的理解了呢？

参考博文:https://www.cnblogs.com/jvxie/p/4854719.html