CF839E Mother of Dragons 最大团 Bron-Kerbosch算法

Posted 2022-03-20 disangan233

题意简述

给你一个\(n\)个节点的无向图\(G=\V,E\\)的邻接矩阵\(g\)和每个点的点权为\(s_i\)，且\(\sum_i=1^n s_i = K\)，要你求出\(\mathrmmax \ \sum_u,v \in E s_u \times s_v\\)

做法

设两个不相邻的点\(u\)，\(v\)的点权为\(s_u\)和\(s_v\)，令\(a_u = \sum_g[u][i]=1 s_i, a_v=\sum_g[v][i]=1 s_i\)，此时这对点\((u,v)\)的贡献为\(a_us_u+a_vs_v\)。

• 不妨设\(a_u\geq a_v\)，若\(s_u=s_u+s_v,s_v=0\)，\(ans\)并不会变小。

所以最优解一定包含选取一个团(完全图)。对于一个\(n\)个点的完全图，这个完全图的答案为\((\frac Kn)^2 \times \frac n(n-1)2\)，所以本题的答案为\((\frac Ktot)^2 \times \frac tot(tot-1)2\)，其中\(tot\)为最大团的大小。

我们采用\(Bron-Kerbosch\)算法来求最大团，采用dfs剪枝的方法，时间复杂度\(O\left( 1.14^n \right)\)。

---

当然此题模拟退火也可以过，维护一个序列\(c_n\)，\(s_i=\frac c_i\sum_j c_j\)。对于序列进行随机的$\bmod $固定值(如\(100\))意义下的加减，如果更优则转移。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register int
#define ll long long
#define ak *
#define in inline
#define db double
in char getch()

    static char buf[1<<12],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<12,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;

char qwq;
#define gc() getchar()
in int read()

    re cz=0,ioi=1;qwq=gc();
    while(qwq<'0'||qwq>'9') ioi=qwq=='-'?~ioi+1:1,qwq=gc();
    while(qwq>='0'&&qwq<='9') cz=(cz<<3)+(cz<<1)+(qwq^48),qwq=gc();
    return cz ak ioi;

const int N=45;
int n,k,g[N][N],ans,cnt[N],ch[N];
bool dfs(re u,re nw)

    ch[nw]=u;
    if(nw>ans) return ans=nw,true;
    for(re i,v=u+1;v<=n;v++)
    
        if(!g[u][v]||nw+cnt[v]<=ans) continue;
        for(i=1;i<=nw;i++)
        if(!g[ch[i]][v]) break;
        if(i>nw&&dfs(v,nw+1)) return true; 
    
    return false;

in int bron_kerbosch()

    for(re i=n;i;i--) dfs(i,1),cnt[i]=ans;
    return ans;

int main()

    n=read();k=read();
    for(re i=1;i<=n;i++) 
    for(re j=1;j<=n;j++)
    g[i][j]=read();
    re cnt=bron_kerbosch();
    if(!cnt) return puts("0"),0;
    db per=1.0*k/cnt,tot=cnt*(cnt-1)/2.0;
    printf("%.8lf",tot*pow(per,2));
    return 0;