首师大附中互测题：LJX的校园：入学典礼C003

Posted 2020-07-28 Jiaxin-Li

【C003】LJX的校园：入学典礼【难度C】——————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————

【题目要求】

 LJX上中学啦！他与YSM,YSF,WHT,LTJ等人都是校友。今天，是他人生中“溺亡”的一天。今天，他要向同学们证明他的数学很“乐呵”。 于是，刚学会简单的A+B问题的他，在课上，向冤  家对头 斯沃琪 挑战 QAQ，斯沃琪 队有YZM,SJY,ZZQ等人。而LJX队有他的好朋（ji）友：YSM,YSF,WHT,LTJ,LZH等人，实力不弱小觑。有这么一道题：

 给定正整数N，M，要求计算1,2，……,N连接起来（1234567891011……N）mod M的值。

 “新兵”LJX想了想，要是M是3，或者9，他一定会。但是M什么都可以，只要小于INF。“预约”了各种方法以后，费劲脑筋想不出来。于是，右转向了（呵呵）他的（ZHU）队友们。可他们已经跑了 TAT。jue ruo LJX找到了你，他跪求你编一个程序帮他解决问题。否则，他将在毕业典礼上“锻炼”，并且被可怕的斯沃琪虐残 QAQ

【输入要求】

 * 一行：正整数N，M。

【输入示例】

输入样例1
13 13
输入样例2
12345678910 1000000000

【输出要求】

 * 一行：按要求输出

【输出示例】

输出样例1
4
输出样例2
345678910

【其它要求】

 N<=10^18
 M<=10^9
 这数据是在坑LJX呀

【试题分析】对于连线段树都用不熟练的“键人”蒟蒻（不是魔芋）来说，看到其它要求瞬间蒙逼，最后花了10^1000000000纳秒终于发现了这道题简直就是连改都没改的矩阵快速幂，于是直接上模板。

                 矩阵快速幂大家都应该很熟悉了下面我来讲一下它的基本原理：两矩阵相乘，一般的算法（QAQ）的复杂度是O(N^3)。如果求一次矩阵的M次幂，按朴素的写法就O(N^3*M)。既然是求幂，不免想到快速幂取模的算法，有了快速幂取模的，a^b %m 的复杂度可以降到O(logb)。如果矩阵相乘是不是也可以实现O(N^3 * logM)的时间复杂度呢？答案是肯定的。我们可以

                 把n个矩阵进行两两分组，比如：A*A*A*A*A*A  =>  (A*A)*(A*A)*(A*A)这样变的好处是，你只需要计算一次A*A，然后将结果(A*A)连乘自己两次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。算一下发现这次一共乘了3次，少于原来的5次。其实大家还可以取A^3作为一个基本单位。原理都一样：利用矩阵乘法的结合律，来减少重复计算的次数。以上都是取一个具体的数来作为最小单位的长度，这样做虽然能够改进效率，但缺陷也是很明显的，取个极限的例子（可能有点不恰当，但基本能说明问题），当n无穷大的时候，你现在所取的长度其实和1没什么区别。所以就需要我们找到一种与n增长速度”相适应“的”单位长度“，那这个长度到底怎么去取呢？？？这点是我们要思考的问题。有了以上的知识，我们现在再来看看，到底怎么迅速地求得矩阵的N次幂。我们可以进行离散化（其实我也不懂）下面是我转载的
                大家首先要认识到这一点：任何一个整数N，都能用二进制来表示。。这点大家都应该知道，但其中的内涵真的很深很深（这点笔者感触很深，在文章的最后，我将谈谈我对的感想）！！
                计算机处理的是离散的信息，都是以0,1来作为信号的处理的。可想而知二进制在计算机上起着举足轻重的地位。它能将模拟信号转化成数字信号，将原来连续的实际模型，用一个离散的算法模型来解决。  好了，扯得有点多了，不过相信这写对下面的讲解还是有用的。
                回头看看矩阵的快速幂问题，我们是不是也能把它离散化呢？比如A^19  =>  （A^16）*（A^2）*（A^1），显然采取这样的方式计算时因子数将是log(n)级别的(原来的因子数是n)，不仅这样，因子间也是存在某种联系的，比如A^4能通过(A^2)*(A^2)得到，A^8又能通过(A^4)*(A^4)得到，这点也充分利用了现有的结果作为有利条件。下面举个例子进行说明：
               现在要求A^156,而156(10)=10011100(2) 也就有A^156=>(A^4)*(A^8)*(A^16)*(A^128)  考虑到因子间的联系，我们从二进制10011100中的最右端开始计算到最左端。细节就说到这。

【代码】

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

#define MAXN 4

using namespace std;

typedef long long int LL;

int mod;

struct matrix
{
    LL p[MAXN][MAXN];
}ans,tmp;

matrix operator*(matrix a,matrix b)
{
    matrix c;
    for(int i=1;i<=3;i++)
        for(int j=1;j<=3;j++)
        {
            c.p[i][j]=0;
            for(int k=1;k<=3;k++)
                c.p[i][j]=(c.p[i][j]+((a.p[i][k]%mod)*(b.p[k][j]%mod))%mod)%mod;
        }
    return c;
}

void cal(LL t,LL last) 
{
    memset(tmp.p,0,sizeof(tmp.p));
    tmp.p[1][1]=t;
    tmp.p[2][1]=tmp.p[3][1]=tmp.p[2][2]=tmp.p[3][2]=tmp.p[3][3]=1;
    LL y=last-t/10+1;
    while(y)
    {
        if(y&1) ans=ans*tmp;
        tmp=tmp*tmp;
        y>>=1;
    }
}

int main()
{
    for(int i=1;i<=3;i++)
        ans.p[i][i]=1;
    LL n;
    scanf("%lld%lld",&n,&mod);
    LL t=10;
    while(n>=t)
    {
        cal(t,t-1);
        t*=10;
    }
    cal(t,n);
    printf("%lld\n",ans.p[3][1]);
    return 0;
}

 我的感想：艰苦的学完快速幂之后，每次比赛把那么一大长串的思想重新想一遍肯定是不行的，所以我们一定要背模板！背模板！背模板！（重要的事情说三遍）要做到拿来就能写。