大整数四则运算（vector)

Posted 2022-03-19 1625--h

目录

• 基础
  • 1. 高精度加法
  • 2. 高精度减法
  • 3. 高精度乘低精度
  • 4. 高精度除以低精度
  • 5. 高精度乘高精度
  • 6. 高精度除以高精度
• 综合
• 总结

每逢大整数四则运算，都会怯懦，虽是算法竞赛必会的东西，也零散的学过，简单的总结过，但不成体系的东西心里一直没底。

所以今天消耗了大量的卡路里，啃了几套模板之后终于总结成了一套自己的模板

再也不用担心大整数啦

基础

1. 高精度加法

高精度加法等同于算术加法，做单个的加法运算之后存下进位

• A和B都为正整数
• vector中下标为0存的是低位（以下都是）

vector<int> add(vector<int> &A,vector<int> &B)
    if(A.size() < B.size()) return add(B,A);//这是为了保证A的位数比B大
    vector<int> C;
    int t = 0;
    for(int i = 0;i < A.size();i++)
        t += A[i];
        if(i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    
    if(t) C.push_back(t);
    //清除前缀0，为了防止000+0等输入情况
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0)C.pop_back();
    return C;

2. 高精度减法

减法同加法原理一样，也是计算一位，下面用了t这个变量存下向更高一位借的1

• A和B必须为正整数，结果返回|A-B|

vector<int> sub(vector<int> &A,vector<int> &B)
    vector<int> C;
    for(int i= 0,t = 0;i<A.size();i++)
        t = A[i] - t;
        if(i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t+10)%10);
        if(t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    
    //清除前缀0
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0)C.pop_back();
    return C;

3. 高精度乘低精度

高精度的每一位与低精度数字进行相乘，因为相乘最大为81，所以结果对10取余得到的数字就是结果在当前位的结果，然后对结果除以10保存更高一位的进位数字

• A存放正整数，b也为正整

vector<int> mul(vector<int> &A,int b)
    vector<int> C;
    int t = 0;
    for(int i = 0;i < A.size() || t; i++)
        if(i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t%10);
        t /= 10;
    
    return C;

4. 高精度除以低精度

在计算除法时，会从被除数的最高位算起，每一位的计算结果就是当前余数对除数做除法的结果。然后计算下一位（更小的一位，设第x位）时，要更新余数即 余数*10 + 被除数的x位。

• A 存放正整数，b也为正整数，r为余数

vector<int> div(vector<int> & A,int b,int &r)
    vector<int> C;
    r = 0;
    for(int i = A.size() - 1;i >= 0;i--)
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r/b);
        r %= b;
    
    reverse(C.begin(),C.end());
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0)C.pop_back();
    return C;

什么？乘低精度还不够？除低精度太low？那我们考虑一些不太常见的情况（openjudge百炼2980）

5. 高精度乘高精度

首先说一下乘法计算的算法，从低位向高位乘，在竖式计算中，我们是将乘数第一位与被乘数的每一位相乘，记录结果之后，用第二位相乘，记录结果并且左移一位，以此类推，直到计算完最后一位，再将各项结果相加，得出最后结果。

? 计算的过程基本上和小学生列竖式做乘法相同。为了编程方便，并不急于处理进位，而是先将所有位上的结果计算之后，再从前往后以此处理进位。

? 总结一个规律: 即一个数的第i 位和另一个数的第j 位相乘所得的数，一定是要累加到结果的第i+j 位上。这里i, j 都是从数字低位开始从0 开始计数。
ans[i+j] = a[i]*b[j];

? 另外注意进位时要处理，当前的值加上进位的值再看本位数字是否又有进位；前导清零。

vector<int> mul( vector<int> &A, vector<int> &B) 
    int la = A.size(),lb = B.size();
    vector<int> C(la+lb+10,0);//提前申请结果所需的空间
    for(int i=0;i<la;i++)
        for(int j=0;j<lb;j++)
            C[i+j] += A[i] * B[j];
        
    
    for(int i=0;i<C.size();i++)
        if(C[i] >= 10)
            C[i + 1] += C[i] / 10;
            C[i] %= 10;
        
    
    //处理前导0
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0)C.pop_back();
    return C;

6. 高精度除以高精度

大数除法是四则运算里面最难的一种。不同于一般的模拟，除法操作不是模仿手工除法，而是利用减法操作来实现的。其基本思想是反复做减法，看从被除数里面最多能减去多少个除数，商就是多少。逐个减显然太慢，要判断一次最多能减少多少个整数(除数)的10的n次方。

以7546除以23为例：

? 先用7546减去23的100倍，即减去2300，可以减3次，余下646，此时商就是300 (300=100*3)；

? 然后646减去23的10倍，即减去230，可以减2次，余下186，此时商就是320 (320=300+10*2)；

? 然后186减去23，可以减8次，余下2，此时商就是328 (328=320+1*8)；

? 因为2除以23的结果小于1，而我们又不用计算小数点位，所以不必再继续算下去了。

计算结果中没有小数：

vector<int> div(vector<int> A,vector<int> B)
    int la = A.size(),lb = B.size();
    int dv = la - lb; // 相差位数
    vector<int> C(dv+1,0);//提前申请结果所需空间
    //将除数扩大，使得除数和被除数位数相等
    reverse(B.begin(),B.end());
    for(int i=0;i<dv;i++)B.push_back(0);
    reverse(B.begin(),B.end());
    lb = la;
    for(int j=0;j<=dv;j++)
        while(!cmp(A,B))//这里用到一个比较函数，cmp返回的是A是否比B小，此处判断的是A是否大于等于B，该循环当A无法再进行减法时结束
            A = sub(A,B);
            C[dv-j]++;//答案里相应的那一位数字++
        
        B.erase(B.begin());//缩小被除数
    
    while(C.size()>1 && C.back() == 0)C.pop_back();
    return C;

好了，基础部分到此结束，将上面的内容封装好之后，我们就可以比较完美的在比赛中使用了。

综合

• 该结构体是借用紫书上的模板，BASE是数组一位上面可以存数的值。也可以理解为是一个BASE进制数，WIDTH对应的是BASE的宽度
• 因为大整数乘大整数所用计算方法的特殊性，BASE应当设置为10，WIDTH设置为1，相应的重载输出流里面的sprinf函数中也应该控制为1位而不是8位

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
struct BigInteger
    //BASE为vector数组中一位中最大存储的数字，前面都是以10计算的
    //WIDTH为宽度
    static const int BASE = 100000000;
    static const int WIDTH = 8;
    vector<int> s;
    //正数为1，负数为-1
    int flag = 1;
    
    //构造函数
    BigInteger(ll num = 0)*this = num;
    BigInteger(string str)*this = str;
    BigInteger(const BigInteger& t)
        this->flag = t.flag;
        this->s = t.s;
    
    //赋值函数
    BigInteger operator = (ll num)
        s.clear();
        do 
            s.push_back(num % BASE);
            num /= BASE;
        while(num > 0);
        return *this;
    
    BigInteger operator = (string &str)
        s.clear();
        int x,len = (str.length()-1)/WIDTH + 1;
        for(int i=0;i<len;i++)
            int end = str.length() - i*WIDTH;
            int start = max(0,end - WIDTH);
            sscanf(str.substr(start,end-start).c_str(),"%d",&x);
            s.push_back(x);
        
        return *this;
    

    //基本比较函数 A < B
    bool cmp( vector<int> &A, vector<int> & B)
        if(A.size() != B.size())return A.size() < B.size();
        for(int i=A.size()-1;i>=0;i--)
            if(A[i] != B[i])
                return A[i] < B[i];
            
        
        return false;
    
    //比较函数如果小于则返回真
    bool operator < ( BigInteger & b)
        return cmp(s,b.s);
    
    bool operator > ( BigInteger& b)
        return b < *this;
    
    bool operator <= ( BigInteger &b)
        return !(b < *this);
    
    bool operator >= ( BigInteger &b)
        return !(*this < b);
    
    bool operator == ( BigInteger &b)
        return !(b < *this) && (*this < b);
    
    //基本四则运算
    vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B);
    vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B);
    vector<int> mul(vector<int> &A, int b);
    vector<int> mul(vector<int> &A, vector<int> &B);
    vector<int> div(vector<int> &A, int b);
    vector<int> div(vector<int> A, vector<int> B);

    //重载运算符
    BigInteger operator + (BigInteger &b);
    BigInteger operator - (BigInteger &b);
    BigInteger operator * (BigInteger &b);
    BigInteger operator * (int& b);
    BigInteger operator / (BigInteger & b);
    BigInteger operator / (int b);
;
//重载<<
ostream& operator << (ostream &out,const BigInteger& x) 
    if(x.flag == -1)out << '-';
    out << x.s.back();
    for(int i = x.s.size() - 2; i >= 0;i--)
        char buf[20];
        sprintf(buf,"%08d",x.s[i]);//08d此处的8应该与WIDTH一致
        for(int j=0;j<strlen(buf);j++)out<<buf[j];
    
    return out;

//重载输入
istream& operator >> (istream & in,BigInteger & x)
    string s;
    if(!(in>>s))return in;
    x = s;
    return in;

vector<int> BigInteger::add( vector<int> &A, vector<int> &B)
    if(A.size() < B.size())return add(B,A);
    int t = 0;
    vector<int> C;
    for(int i=0;i<A.size();i++)
        if(i<B.size())t += B[i];
        t += A[i];
        C.push_back(t%BASE);
        t /= BASE;
    
    if(t)C.push_back(t);
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0)C.pop_back();
    return C;

vector<int> BigInteger::sub( vector<int> &A, vector<int> &B)
    vector<int> C;
    for(int i=0,t=0;i<A.size();i++)
        t = A[i] - t;
        if(i<B.size())t -= B[i];
        C.push_back((t+BASE)%BASE);
        if(t < 0)t = 1;
        else t = 0;
    
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0)C.pop_back();
    return C;

vector<int> BigInteger::mul(vector<int> &A,int b)
    vector<int> C;
    int t = 0;
    for(int i = 0;i < A.size() || t; i++)
        if(i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t%BASE);
        t /= BASE;
    
    return C;

//大数乘大数乘法需要将BASE设置为10，WIDTH设置为1
vector<int> BigInteger::mul( vector<int> &A, vector<int> &B) 
    int la = A.size(),lb = B.size();
    vector<int> C(la+lb+10,0);
    for(int i=0;i<la;i++)
        for(int j=0;j<lb;j++)
            C[i+j] += A[i] * B[j];
        
    
    for(int i=0;i<C.size();i++)
        if(C[i] >= BASE)
            C[i + 1] += C[i] / BASE;
            C[i] %= BASE;
        
    
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0)C.pop_back();
    return C;

//大数除以整数
vector<int> BigInteger::div(vector<int> & A,int b)
    vector<int> C;
    int r = 0;
    for(int i = A.size() - 1;i >= 0;i--)
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r/b);
        r %= b;
    
    reverse(C.begin(),C.end());
    while(C.size() > 1 && C.back() == 0)C.pop_back();
    return C;

//大数除以大数
vector<int> BigInteger::div(vector<int> A,vector<int> B)
    int la = A.size(),lb = B.size();
    int dv = la - lb; // 相差位数
    vector<int> C(dv+1,0);
    //将除数扩大，使得除数和被除数位数相等
    reverse(B.begin(),B.end());
    for(int i=0;i<dv;i++)B.push_back(0);
    reverse(B.begin(),B.end());
    lb = la;
    for(int j=0;j<=dv;j++)
        while(!cmp(A,B))
            A = sub(A,B);
            C[dv-j]++;
        
        B.erase(B.begin());
    
    while(C.size()>1 && C.back() == 0)C.pop_back();
    return C;

BigInteger BigInteger::operator + ( BigInteger & b)
    BigInteger c;
    c.s.clear();
    c.s = add(s,b.s);
    return c;


BigInteger BigInteger::operator - ( BigInteger & b) 
    BigInteger c;
    c.s.clear();
    if(*this < b)
        c.flag = -1;
        c.s = sub(b.s,s);
    
    else
        c.flag = 1;
        c.s = sub(s,b.s);
    
    return  c;

BigInteger BigInteger::operator *(BigInteger & b)
    BigInteger c;
    c.s = mul(s,b.s);
    return c;

BigInteger BigInteger::operator *(int& b)
    BigInteger c;
    c.s = mul(s,b);
    return c;

BigInteger BigInteger::operator /(BigInteger & b)
    BigInteger c;
    if(*this < b)
        c.s.push_back(0);
    
    else
        c.flag = 1;
        c.s = div(s,b.s);
    
    return c;

BigInteger BigInteger::operator /(int b)
    BigInteger c;
    BigInteger t = b;
    if(*this < t)
        c.s.push_back(0);
    
    else
        c.flag = 1;
        c.s = div(s,b);
    
    return c;

int main()
    BigInteger A,B;
    cin>>A>>B;
    cout<<A+B<<endl;
    cout<<A-B<<endl;
    cout<<A*B<<endl;
    cout<<A/B<<endl;
    return 0;

总结

模板只提供了正整数的运算，对于含有负整数的运算，只需要进行合理的转换即可，见下表

A	B	+	-	*	/
+	+	|A|+|B|	|A|-|B|	|A|*|B|	|A|/|B|
+	-	|A|-|B|	|A|+|B|	-(|A|*|B|)	-(|A|/|B|)
-	+	|B|-|A|	-(|A|+|B|)	-(|A|*|B|)	-(|A|/|B|)
-	-	-(|A|+|B|)	|B|-|A|	|A|*|B|	|A|/|B|

【附：参考资料】

1. https://www.cnblogs.com/wuqianling/p/5387099.html
2. ACwing算法基础课
3. 算法竞赛入门经典
4. 红宝书