P4777 模板扩展中国剩余定理（EXCRT）

Posted 2022-03-15 cherish-lin

题目描述

给定 nnn组非负整数 ai,bia_i, b_iai?,bi?，求解关于 xxx的方程组x≡b1 (mod a1)x≡b2 (mod a2)...x≡bn (mod an)\begincases x \equiv b_1\ (\rm mod\ a_1) \\ x\equiv b_2\ (\rm mod\ a_2) \\ ... \\ x \equiv b_n\ (\rm mod\ a_n)\endcases??????????x≡b1? (mod a1?)x≡b2? (mod a2?)...x≡bn? (mod an?)?的最小非负整数解。

输入输出格式

输入格式：

输入第一行包含整数 nnn。

接下来 nnn行，每行两个非负整数 ai,bia_i, b_iai?,bi?。

输出格式：

输出一行，为满足条件的最小非负整数 xxx。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3
11 6
25 9
33 17

输出样例#1： 复制

809

说明

n≤105,1≤ai≤1012,0≤bi≤1012,bi<ain \leq 10^5, 1 \leq a_i \leq 10^12, 0 \leq b_i \leq 10^12, b_i < a_in≤105,1≤ai?≤1012,0≤bi?≤1012,bi?<ai?，保证答案不超过 101810^181018。

请注意程序运行过程中进行乘法运算时结果可能有溢出的风险。

数据保证有解

 

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<stdio.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=100010;
ll a[maxn],b[maxn],n;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)

    if(b==0)
        x=1,y=0;
        return a;
    
    else
        ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=a/b*x;
        return d;
    

ll quickmul(ll a,ll b,ll mod)

    ll ans=0;
    while(b)
        if(b&1)ans=(ans+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    
    return ans;


ll solve()

    ll M=b[1];
    ll ans=a[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
        ll x,y;
        ll g=exgcd(M,b[i],x,y);
        ll c=((a[i]-ans)%b[i]+b[i])%b[i];//将其变正
        x=quickmul(x,c/g,b[i]);
        b[i]/=g;
        ans+=x*M;
        M*=b[i];
        ans=(ans%M+M)%M;
    
    return ans;

int main()

    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>b[i]>>a[i];//这里为了习惯，反过来输入了
    printf("%lld\n",solve());
    return 0;