P3768 简单的数学题

Posted 2022-03-13 yexinqwq

毒瘤题

弄模数弄了我一天，结果少模了一个地方

做法

我们要求：\[(\sum\limits_i=1^n \sum\limits_j=1^n i\times j\times gcd(i,j))mod\ p\]

我们先不管后面的模\(p\)，考虑前面枚举\(gcd(i,j)\)：\[\sum\limits_d=1^n d \sum\limits_i=1^n \sum\limits_j=1^n i\times j\ [gcd(i,j)=d]\]

套路的除\(d\)：\[\sum\limits_d=1^n d^3 \sum\limits_i=1^\left\lfloor \fracnd \right\rfloor \sum\limits_j=1^\left\lfloor \fracnd \right\rfloor i\times j\ [gcd(i,j)=1]\]

后面显然用莫比乌斯反演，我们用性质来变换：\[\sum\limits_d=1^n d^3 \sum\limits_i=1^\left\lfloor \fracnd \right\rfloor \sum\limits_j=1^\left\lfloor \fracnd \right\rfloor i\times j \sum\limits_k|gcd(i,j) \mu (k)\]

套路的枚举\(k\)：

\[\sum\limits_d=1^n d \sum\limits_k=1^\left\lfloor \fracnd \right\rfloor \mu (k) \sum\limits_i=1^\left\lfloor \fracnd \right\rfloor \sum\limits_j=1^\left\lfloor \fracnd \right\rfloor i\times j\ [k|gcd(i,j)]\]

除\(k\)把后面去掉：\[\sum\limits_d=1^n d^3 \sum\limits_k=1^\left\lfloor \fracnd \right\rfloor \mu (k) k^2\sum\limits_i=1^\left\lfloor \fracndk \right\rfloor \sum\limits_j=1^\left\lfloor \fracndk \right\rfloor i\times j\]

我们用\(T=dk\)带入：\[\sum\limits_T=1^n \sum\limits_d|T d^3 \mu (\fracTd) (\fracTd)^2\sum\limits_i=1^\left\lfloor \fracnT \right\rfloor \sum\limits_j=1^\left\lfloor \fracnT \right\rfloor i\times j\]

前面的\(d^3\)可以和\((\fracTd)^2\)消去分母：\[\sum\limits_T=1^n \sum\limits_d|T d \mu (\fracTd) T^2\sum\limits_i=1^\left\lfloor \fracnT \right\rfloor \sum\limits_j=1^\left\lfloor \fracnT \right\rfloor i\times j\]

换个位置：\[\sum\limits_T=1^n T^2 \sum\limits_d|T d \mu (\fracTd) \sum\limits_i=1^\left\lfloor \fracnT \right\rfloor \sum\limits_j=1^\left\lfloor \fracnT \right\rfloor i\times j\]

我们设函数\(S\)：\[S(n)=(\sum\limits_i=1^n i)^2\]

那么原式可化为：\[\sum\limits_T=1^n T^2 \sum\limits_d|T d \mu (\fracTd) S(\left\lfloor \fracnT \right\rfloor)\]

因为\(φ=id\times \mu\)，所以：\[\sum\limits_T=1^n T^2 φ(T)\ S(\left\lfloor \fracnT \right\rfloor)\]