阿里巴巴笔试题集第23题及分析

Posted 2022-03-10

题目：

一个骰子， 6 面， 1 个面是 1 ， 2 个面是 2 ， 3 个面是 3 ， 问平均掷多少次能使 1 、 2 、 3 都至少出现一次。

?方法： 面对面试概率题几乎屡试不爽的分叉树递归列方程法。

?这是一个求数学期望的问题，最终是求 1 ， 2 ， 3 出现至少一次的最短长度的期望。

?这样分叉树的每个节点是一个期望状态，而每个分叉是一次投掷结果。将后续期望出现 1 、 2 、 3 各至少一次的情形记作 L 123 （即题目所求），将后续期望出现 1 、 2 各至少一次（ 3 无关）情形记作 L 12 ，而 1 至少一次（ 2 ， 3 无关）情形 L 1 ，其余数值符号类推，则树结构如下（列出 4 级结构已经足够）：

?

接下来，就是要排出方程，因为一共 7 个未知数，如果排出 7 个线性方程就能解决问题。
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?这方程组里的未知数对应上述的状态，而其数值则是一个对长度（投掷次数）的数学期望。

?根据这个树状结构和其中的递归关系，这个方程组就是：

L 123 ? = p 1 ? (L 23 + 1) + ? p 2 ? (L 13 +1) + p 3 ? (L 12 ? + 1) = p 1 ? L 23 ? + p 2 ? L 13 +? p 3 ? L 12 ? + 1

（以这个 L 123 为例，解释，投掷 1 的概率是 p 1 而由此得到的结果是需要期待后续 2 和 3 各至少出现一次，于是长度期望是 L 23 + 1 ，加 1 是因为投掷了一次，亦即即增进一级）

L 23 ? = ? p 1 ? L 23 ? + p 2 ? L 3 +? p 3 ? L 2 ? + 1

L 13 ? = ? p 1 ? L 3 ? + p 2 ? L 13 +? p 3 ? L 1 ? + 1

L 12 ? = ? p 1 ? L 2 ? + p 2 ? L 1 +? p 3 ? L 12 ? + 1

L 1 ? = p 1 + p 2 ? L 1 +? p 3 ? L 1 ? + 1

（这里实际上是 ? L 1 ? =p 1 ? ·1 + p 2 ? (L 1 + 1) + p 3 ? (L 1 ? + 1) ? = p 2 ? L 1 +? p 3 ? L 1 ? + 1 ，因为对 L 1 情形，如果投了 1 就目的达到终止了）

L 2 ? = p 2 + ? p 1 ? L 2 ? +? ? p 3 ? L 2 ? + 1

L 3 ? = p 3 + ? p 1 ? L 3 ? + p 2 ? L 3 + 1

（以上一开始没注意，多加了悬空的概率项，故计算有误）

其中 ? p 1 ， p 2 ? 和 ? p 3 分别是掷出 1 ， 2 和 3 的概率，即 1/6 ， 1/3 ， 1/2 。

?于是求解这个方程，得到：

L 1 ? = 6 ， ? L 2 ? = 3 ， ? L 3 ? = 2

L 12 ? = 7 ， ? L 13 ? = 13/2 ， ? L 23 ? = 19/5 6

L 123 ? = ? 219/30 = 7.3 ? 259/36 ~= 7.14

?故以上如果没有计算错误，该题结果是，平均掷 7.3 ? 约 7.14 次可出现这些面值各至少一次。

?【另一解法】感谢 4 楼 aaaxingruiaaa 同学提供的答案（指示器变量法），整理如下：

定义随机变量 X n ，其可能值为 0 或 1 ，其值为 1 表示 “ 前 n 次掷骰子， 1 ， 2 ， 3 没能都至少出现一次 ” 的事件，其值为 0 表示这个事件没有发生，即 “ 前 n 次掷骰子， 1 ， 2 ， 3 各至少出现一次 ” 。

?令 p n 为 “ 掷 n 次骰子， 1 ， 2 ， 3 没能都至少出现一次 ” 的概率，所以显然 p n ? = Pr X n =1 ，于是 p n ? = 1·Pr X n =1 + 0·Pr X n =1?= E[ X n ] ，即这个随机变量的数学期望。

?令随机变量 X 表示 1 ， 2 ， 3 刚好全部出现过需要的投掷次数。可见题目要求的就是 E[X] 。

关键等式： X = ? Sigma (n=0 to ? Inf; ?X n )??? （这里 Sigma 是求和号，求和范围是 n 从 0 到无穷大）

?说明一下，等式两边都是随机变量，假设对于某个随机实例（例如，这里指一次具体的投掷序列），其对应事件是： “ 投了 K 次恰好 1 ， 2 ， 3 都出现了 ” ，于是等式左边显然等于 K ；而等式右边，对于 n < K ，由于这些项的对应定义事件发生了（即 1 ， 2 ， 3 没能出现），所以他们的实例值是 1 ，而对于 n?K ，则由于对应定义事件都没发生，实例值为 0 ，可见这个和也是 K 。故两侧相等。（为了达到这个相等关系，可以看出需要把 X 0 包含在内的必要性）

值得注意的是（但对于解这道题也可以不去注意，但注意一下有利于比较深入地理解），对 n < 3 ， X n 显然恒为 1 。而对于 n?3 ，这些随机变量不是独立的。他们的相关性是不容易求出的，唯一容易知道的是，当序列中一个项为 0 时，其后的项均为 0 。好在对于这题我们不需要担忧这个相关性。

?由于数学期望的加性与随机变量的相关性无关（这是数学期望一个很令人高兴的性质），所以即便这样， E[X] 也能容易求出：

?E[X] = ? Sigma (n=0 to Inf; E[ X n ] ) =? Sigma (n=0 to ? Inf; ? p n )

?p n 的比较直观的求法也由 aaaxingruiaaa 同学 提供了，即所谓容斥原理。稍微解释一下，由于 p n 考虑的是 n 次投掷三者没有全部出现，于是就是其中两者出现或仅一者出现。假设单次投掷 1 ， 2 和 3 出现的概率分别为： r 1 ， r 2 和 r 3 。于是 ( r 1 + r 2 ) n 表征 n 次投掷只出现 1 或 2 的概率，这其中包括了出现全 1 和全 2 的情形，于是求 p n 可由这样的项求和并剔除重复计算的单面值情形，于是：

?p n ? = ( r 1 + r 2 ) n + ( r 1 + r 3 ) n + ( r 2 + r 3 ) n - r 1 n - r 2 n - r 3 n ，当 n > 0 ； ? 而 p 0 ? = 1 （由定义；同时也可以检验看出，这个 p n 在 n 为 1 和 2 的时候都是 1 ）

于是由等比级数（等比数列求和）公式：

E[X] = ? 1 + Sigma (n=1 to Inf; ( r 1 + r 2 ) n + ( r 1 + r 3 ) n + ( r 2 + r 3 ) n - r 1 n - r 2 n - r 3 n = 1 + (1 - ? r 3 ) /? r 3 ? + (1 - ? r 2 ) / ? r 2 ? + (1 - ? r 1 ) / ? r 1 ? - ? r 1 ? /?(1 - ? r 1 ) - ? r 2 ? /?(1 - ? r 2 ) - r 3 ? /?(1 - ? r 3 ) = 7.3

?【程序仿真】

以下程序进行一千万轮投掷的仿真，结果基本在 7.3 周围。至此此题答案 7.3 毫无疑问了。

[csharp]?view plaincopy

 static ? void ?Main( string []?args)?? 
??
????Random?rand?=?new ?Random();?? 
????int []?diceSurfaces?=? new ? int [6]??1,?2,?2,?3,?3,?3?;??? //?6个面 ?? 
????int ?nRounds?=?10000000;? //?投掷轮数 ?? 
????long ?totalTimes?=?0;???? //?所有轮中投掷数加起来的总投掷次数 ?? 
????for ?( int ?iRounds?=?0;?iRounds?<?nRounds;?iRounds++)?? 
??????
????????bool []?occurred?=? new ? bool [3]?? false ,? false ,? false ?;?? //?各面值出现标记 ?? 
????????int ?sumPicked?=?0;?? //?出现不同面值个数 ?? 
????????int ?times?=?0;?? 
????????for ?(;?;?)?? 
??????????
????????????int ?iSurface?=?rand.Next(6);?? 
????????????int ?value?=?diceSurfaces[iSurface]?-?1;?? 
????????????times++;??
????????????if ?(!occurred[value])?? 
???????????????//?出现新面值 ?? 
????????????????occurred[value]?=?true ;?? 
????????????????sumPicked++;??
????????????????if ?(sumPicked?==?occurred.Length)?? 
???????????????????//?全部出现，结束此轮 ?? 
????????????????????break ;?? 
??????????????????
??????????????
??????????
????????totalTimes?+=?times;??
??????
????Console.WriteLine("average?number?of?times?=?0" ,?(( double )totalTimes)?/?nRounds);?? 
??