算法详解之缩点

Posted hulean

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了算法详解之缩点相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

前置技能:tarjan求强连通分量

缩点

顾名思义,就是在图论算法中将一些点缩成一个点的一种算法。

  • 应用

貌似明白了,但是这有什么用呢?

我们经常求最短路,但是如果我们要求最长路呢?

标准问法:

给你一张有向图,每个点都有一个点权(不是边权了哦),且每一个点都可以经过任意多次,但是点权只能加一次,求这张图的最大权值

题目分析:

看到这,相信大多数人都会想到把最短路的模板改一下就行了,但是这会出问题,你会在一个圈里团团转。

怎么办办?

我们会发现,只要是一堆可以构成强连通分量的点,我们就可以将它们缩成一个点,而这个点的点权就是它们的点权和,它的入边就是它们所有点的入边,出边就是它们所有点的出边。

放几张图有助于理解:

技术图片

技术图片

上图中1.3.5就是一个强连通分量

  • 怎么实现?

我们在tarjan求强连通分量时开过一个数组叫做color[](或其他名字)来记录一个点 所属于的强连通分量编号。所以我们可以遍历每一个点,看看它所能到达的点是否和它同处于同一个强连通分量中,若不是,则依托它们强连通分量的编号再构建一个有向无环图 (想一想,为什么要依托编号)

  • 代码
for(int i=1;i<=n;i++)
    
        for(int j=0;j<ver[i].size();j++)
        
            int x=ver[i][j];
            if(color[i]!=color[x])
            
                in[color[x]]++;
                g[color[i]].push_back(color[x]);
            
        
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ww[color[i]]+=w[i];//点权处理

这样我们就实现了缩点。

  • 题目:

[APIO2009]抢掠计划

以上是关于算法详解之缩点的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

辐射神经场算法——NeRF算法详解

线性回归算法和逻辑斯谛回归算法详细介绍及其原理详解

EM算法:EM算法详解

Tarjan算法详解

疫情封校在宿舍学习KMP算法详解(next数组详解)附例

寻路算法之A*算法详解