算法详解之缩点

Posted 2022-03-09 hulean

前置技能:tarjan求强连通分量

缩点。

顾名思义，就是在图论算法中将一些点缩成一个点的一种算法。

• 应用

貌似明白了，但是这有什么用呢？

我们经常求最短路，但是如果我们要求最长路呢？

标准问法:

给你一张有向图，每个点都有一个点权（不是边权了哦），且每一个点都可以经过任意多次，但是点权只能加一次，求这张图的最大权值

题目分析:

看到这，相信大多数人都会想到把最短路的模板改一下就行了，但是这会出问题，你会在一个圈里团团转。

怎么办办？

我们会发现，只要是一堆可以构成强连通分量的点，我们就可以将它们缩成一个点，而这个点的点权就是它们的点权和，它的入边就是它们所有点的入边，出边就是它们所有点的出边。

放几张图有助于理解:

上图中1.3.5就是一个强连通分量

• 怎么实现？

我们在tarjan求强连通分量时开过一个数组叫做color[](或其他名字)来记录一个点 所属于的强连通分量编号。所以我们可以遍历每一个点，看看它所能到达的点是否和它同处于同一个强连通分量中，若不是，则依托它们强连通分量的编号再构建一个有向无环图 （想一想，为什么要依托编号）

• 代码

for(int i=1;i<=n;i++)
    
        for(int j=0;j<ver[i].size();j++)
        
            int x=ver[i][j];
            if(color[i]!=color[x])
            
                in[color[x]]++;
                g[color[i]].push_back(color[x]);
            
        
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ww[color[i]]+=w[i];//点权处理

这样我们就实现了缩点。

• 题目：

[APIO2009]抢掠计划

• 题解