动态规划（分割整数）---按平方数分割整数

Posted 2022-03-08 yjxyy

最长递增子序列

??已知一个序列 S1, S2,...,Sn，取出若干数组成新的序列 Si1, Si2,..., Sim，其中 i1、i2 ... im 保持递增，即新序列中各个数仍然保持原数列中的先后顺序，称新序列为原序列的一个 子序列 。

??如果在子序列中，当下标 ix > iy 时，Six > Siy，称子序列为原序列的一个 递增子序列 。

??定义一个数组 dp 存储最长递增子序列的长度，dp[n] 表示以 Sn 结尾的序列的最长递增子序列长度。对于一个递增子序列 Si1, Si2,...,Sim，如果 im < n 并且 Sim < Sn，此时 Si1, Si2,..., Sim, Sn 为一个递增子序列，递增子序列的长度增加 1。满足上述条件的递增子序列中，长度最长的那个递增子序列就是要找的，在长度最长的递增子序列上加上 Sn 就构成了以 Sn 为结尾的最长递增子序列。因此 dp[n] = max dp[i]+1 | Si < Sn && i < n 。

??因为在求 dp[n] 时可能无法找到一个满足条件的递增子序列，此时 Sn 就构成了递增子序列，需要对前面的求解方程做修改，令 dp[n] 最小为 1，即：

??dp[n]=max1,dp[i]+1|Si<Sn&&i<n

??对于一个长度为N的序列，最长递增子序列不一定会以Sn为结尾，因此dp[N]不是序列的最长递增子序列的长度，需要遍历dp数组找出最大值才是所要的结果。