树上倍增求LCA详解

Posted 2022-03-06 lbssxz

LCA（least common ancestors）最近公共祖先

指的就是对于一棵有根树，若结点z既是x的祖先，也是y的祖先（不要告诉我你不知道什么是祖先），那么z就是结点x和y的最近公共祖先。

定义到此。

那么怎么求LCA？

对于朴素思想，就是我要一步一步往上爬。。一步一步走。先把结点x和y整到同一深度，然后再一次一个深度的往上查，直到祖先一样才break（明显是个while）

但是，一步一步实在是太慢了，所以不能脚踏实地地走

那么，考虑跳着走，

跳着走的条件就是要满足一步步数尽可能多并且不跳过了。当然你跳过了在一步一步往下找也行啊QWQ

于是，在满足这两个条件的情况下，我们有了LCA算法：

一步条2的n次方。

对于每一步跳跃，我们要预处理一个二维数组f（father）f[x][i]，表示对于当前的x结点，往上跳2^i个祖先，特别的，像数学中的，f[x][0]就是x的一代祖先。于是我们要用一个dfs预处理来解决这个f数组。后面我们会提到；

处理完f数组，那就很简单了。

输入x和y，表示要求结点x和结点y的LCA，那么我们开始求LCA：

对于x和y在不同高度，我们先把他们拉到一个高度，同样不能一步一步走，也要用到f数组。

这里我们要提前了解到一个定理：对于任意一个非零整数，我们都可以将他用2的次幂表示出来。也就是such as  ： 11=2^3+2^1+2^0。这倒也不用证明，就像每个数都可以用二进制表示一样。

接着讲：在把x和y弄到同一高度时，我们要先做的是设x的深度dep要比y的深度dep要大，如果dep[y]>dep[x],那么把他们交换。原因是如果不交换，那么我们需要判断两种情况，用两个if以及几乎相同的代码。。（乱七八糟还占内存）

然后用一个判断    if(dep[f[x][i]]>=dep[y])x=f[x][i];（此时x深度大于y），在这里用外层for循环来枚举i，但是i一定要从大到小！。为什么？

安利一个故事（其实也不算）：一个玻璃瓶，装了几块石头，满到瓶口。满了吗？没有。又装了一些沙子，满到瓶口。满了吗？没有。最后又装满了水，满到瓶口。终于满了。

那么，类比于x和y的深度的距离，这个瓶子的容积也是同样道理。从2的尽可能大的次幂去找，一旦能找到能接近他们的i，就更新dep[x]，直到相等。类似于无限逼近，最后值相等的过程。如果i相等了，就说明他们的深度已经在同一层了。

与倍增到同一深度的过程相比，倍增找公共祖先也是类似的，但是有一点不同，就是你不知道什么时候找到他们的公共祖先，因此就没有查找的上限，那么就让他们尽可能接近。因此条件改成了这个：

if(f[x][i]!=f[y][i])
        
            x=f[x][i];y=f[y][i];
        

在执行完这个语句后，我们成功让x和y变成了某一节点z的左右儿子！

因为左右儿子是最接近但是又不相等的。

那么我们随便取其中一个找爸爸，就找到了LCA。

啊。。。。。。喘口气

AC代码：

有关链式存图不懂的的点这里。

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,s,num=0,head[1000001],dep[1000001],f[1000001][23];
int a1,a2;
struct edg
    int next,to;
edge[1000001];
void edge_add(int u,int v)//链式前向星存图 

    num++;
    edge[num].next=head[u];edge[num].to=v;head[u]=num;
    edge[++num].next=head[v];edge[num].to=u;head[v]=num;

void dfs(int u,int father)//对应深搜预处理f数组 

    dep[u]=dep[father]+1;
    for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++)
    
        f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
    
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
    
        int v=edge[i].to;
        if(v==father)continue;//双向图需要判断是不是父亲节点 
        f[v][0]=u;
        dfs(v,u);
    

int lca(int x,int y)

    if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
    for(int i=20;i>=0;i--)//从大到小枚举使x和y到了同一层 
    
        if(dep[f[x][i]]>=dep[y])x=f[x][i];
        if(x==y)return x;
    
    for(int i=20;i>=0;i--)//从大到小枚举 
    
        if(f[x][i]!=f[y][i])//尽可能接近 
        
            x=f[x][i];y=f[y][i];
         
     
    return f[x][0];//随便找一个**输出 

int main()
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    for(int i=1;i<n;i++)
    
        scanf("%d",&a1);scanf("%d",&a2);
        edge_add(a1,a2);//链式存边 
    
    dfs(s,0);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    
        scanf("%d %d",&a1,&a2);
        printf("%d\\n",lca(a1,a2));//求两个节点的LCA 
    
 

 

完结。。