[SDOI2010]地精部落 题解

Posted 2022-03-02 rorschach-xr

Description

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。

Input

仅含一行，两个正整数 N, P。

Output

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

Sample Input

4 7

Sample Output

3

 

 

太神仙了

目前做过最神仙的DP

读完题急切地想写暴搜

之后改记忆化搜索 尝试使用bitset

看一眼范围发现根本不可做

 

对着题解瞪了20min感觉要死了

首先这题是要求长度为n的波动序列的方案数%p对吧

关于波动序列的性质：

引理一：一个抖动序列的连续子序列（≈一个数列的子串？）仍然是抖动序列。

引理二：若一个抖动排列中$x$与$x+1$不相邻，那么交换$x,x+1$ 序列仍满足抖动。

引理三：若使一个抖动排列中大于等于$x$的元素全部$+1$,序列仍满足抖动。

引理四：一个$[1,x]$的抖动序列一定可以对应到$[y-x+1,y]$的一个抖动序列。

其实都挺显然的……就不证了……

规定f[i][j]的含义为在[1,i]的排列中第一个数大于第二个数时的方案数

根据引理4进行交换 第一个数为峰和为谷的情况相同 最终答案为$\\sum_i=1^nf[n][i]*2$

第一个数已经确定，考虑第二个数

1.不是j-1。

根据引理2，我们可以交换j与j-1且序列性质不变（仍抖动），方案数为$f[i][j-1]$.

2.是j-1。

（因为博主不会了所以就……）

 

转移方程$f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][i-j+1]$

特判n=1！

思维量和代码量的反差简直……

或许神题都是这样的吧？

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=4500;
int n,p,f[3][N],ans;
int main()

    scanf("%d%d",&n,&p);
    if(n==1)
    
        cout<<1%p<<endl;
        return 0;
    
    f[0][2]=1;int now=0;
    for(int i=3;i<=n;i++)
    
        now=i&1;
        for(int j=2;j<=i;j++)
            f[now][j]=(f[now][j-1]+f[now^1][i-j+1])%p;
    
        
    for(int i=1;i<=n;i++)
        (ans+=f[now][i])%=p;
    cout<<ans*2%p<<endl;
    return 0;