自然数幂和

Posted 2022-02-27 tyqtyq

一个看起来特别高大上实际上也非常高大上的东西qwq

我们要计算的是：\(\sum_i=1^n i^k\)

现在我们假设k已经确定，令原式=f(n)

通过观察我们发现原式是一个k次多项式，考虑求出他的表达式，由代数基本定理可得只要求出k个点的值就可以唯一确定原多项式（至于怎么确定请看后文），接下来考虑我们二话不说先求一波值，因为只要带入k个数(1~k)就可以了，设这些点为\((x_i,y_i)\)

那么原多项式=\(\sum_i=1^k y_i \times g(i)\)，g(i) = \(\Pi_j=1,j!=i^k \frack-x_jx_i-x_j\) (神仙构造)

接下来我们发现：\(g(x)=(?1)^d?i \times\fracn(n?1)…(n?i+1)(n?i?1)…(n?d)i!(d?i)!\) ，通过恰当的预处理可以求出

例题（LuoguP5437）

求\(\fracn2 \sumi=1n \sumj=i+1^n (i+j)^k\)