P5441 XR-2伤痕

Posted 2022-02-26 xht37

题目大意

\(n\) 个点，保证 \(n\) 为奇数，构造任意一组最多 \(n\) 条无向边的建边方案，使选择导出子图为强连通的 \(4\) 个点的方案数最大化，并求出最大方案数。

前置知识

• 骗分构造

题解

一组不强连通的四个点只有 \(3\) 种可能：

1. 从一个点向另外三个点各连一条有向边，记这样的四个点有 \(X\) 组。
2. 在不满足第 \(1\) 种可能的前提下，从三个点向另外一个点各连一条有向边。
3. A 与 B、C 与 D 之前都是无向边，但从 A 向 CD 各连一条有向边，从 B 向 CD 各连一条有向边。

记点 \(i\) 向其它点连的有向边有 \(S_i\) 条。

因为 \(n\) 为奇数，有：

\[\sum_i = 1^n S_i = \fracn \times (n - 1)2 - n = n \times \fracn - 32\]

又 \(C_x^3 = \fracx \times (x - 1) \times (x - 2)6\) 在 \(x \ge 3\) 时为凸函数，有：

\[X = \sum_i = 1^n C_S_i^3 \ge n \times C_\fracn - 32^3\]

因此，最少有 \(n \times C_\fracn - 32^3\) 组第一种可能的不强连通的四个点。

接下来，我们只需要构造出只有 \(n \times C_\fracn - 32^3\) 组第一种可能，没有第二、三种可能的建边方案即可。

构造方案显然不唯一，接下来给出一种构造方案：

将 \(n\) 个点放在一个圆内接正 \(n\) 边形的顶点上，所有最长的对角线为无向边，每个点都向顺时针接下来的 \(\fracn - 32\) 个点连一条有向边。

显然，这种构造方案满足条件。

综上所述，最终的答案为：

\[C_n^4 - n \times C_\fracn - 32^3 = \fracn(n-3)(n^2+6n-31)48\]

注意 \(n = 1\) 时需要特判。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() 
    int n;
    cin >> n;
    if (n == 1) 
        cout << 0 << endl << 0 << endl;
        return 0;
    
    cout << n * (n - 3) * (n * n + 6 * n - 31) / 48 << endl;
    int m = (n + 1) >> 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        int a[n+1];
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            a[(i+j-1)%n+1] = 1;
        for (int j = 1; j < n; j++) cout << a[j] << " ";
        cout << a[n] << endl;
    
    return 0;

Special Judge

#include "testlib.h"

#define AC return quitf(_ok, "The answer is correct."), 0
#define WA return quitf(_wa, "The answer is wrong."), 0
#define WArules return quitp(0.5, "The answer is correct, but your plan breaks the rules."), 0
#define WAplan return quitp(0.5, "The answer is correct, but your plan is wrong."), 0

int main(int argc, char* argv[]) 
    registerTestlibCmd(argc, argv);
    
    int n = inf.readInt(), ans = ouf.readInt(), a[n+1][n+1];
    
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            a[i][j] = ouf.readInt();
            
    if ((n == 1 && ans) || (n != 1 && ans != n * (n - 3) * (n * n + 6 * n - 31) / 48)) WA;
    
    int cnt = 0;
        
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++) 
            if (a[i][j] && a[i][j] != 1) WArules; 
            if (i == j) 
                if (a[i][j]) WArules;
             else 
                if (!a[i][j] && !a[j][i]) WArules;
                if (i < j && a[i][j] && a[j][i]) ++cnt;
            
        
    
    if (cnt > n) WArules;
    
    int k = 0, p[5];
    
    for (p[1] = 1; p[1] <= n; p[1]++)
        for (p[2] = p[1] + 1; p[2] <= n; p[2]++)
            for (p[3] = p[2] + 1; p[3] <= n; p[3]++)
                for (p[4] = p[3] + 1; p[4] <= n; p[4]++) 
                    bool flag = 0;
                    int o[5];
                    for (int i = 1; i <= 4; i++) o[i] = p[i];
                    do if (a[o[1]][o[2]] && a[o[2]][o[3]] && a[o[3]][o[4]] && a[o[4]][o[1]]) flag = 1;
                    while (!flag && std::next_permutation(o + 1, o + 5));
                    k += flag;
                
                    
    if (k != ans) WAplan;
    AC;