Luogu P2656 采蘑菇

Posted 2022-02-26 ty02

尽管是缩点的习题，思路也是在看了题解后才明白的。

首先，每个强连通分量内的点都是一定互通的，也就是可以完全把这里面的边都跑满，摘掉所有能摘的蘑菇。那么，考虑给每一个强连通分量化为的新点一个点权,代表摘光蘑菇能拿到的边权之和。然后，在新点之间保留原来的桥及其初始权值。（每一个桥一定只能跑一遍，否则说明这两个本应单向通行的分量之间有返回的路径，则二者可构成一个更大的分量。这个结论正是tarjan算法求有向图dcc的核心原理。）现在得到了一张新图，问题在于如何在一张包含点权、边权的DAG上求起始于定点的最长路。

这个问题可以用拓扑序DP求解。在dp求最长路的基础上，为了保证一定由s点所在分量起始，我们把该分量初状态设为其权值，其余点都赋初值为INT_MIN。

这样dp得到的最长路一定是基于f[dcc[s]]求出的。

另外，用SPFA算法来跑点权、边权交叉的最长路是可行的，不过应用于本题复杂度不如dp优秀。

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在参阅题解后，基于一开始跑偏的假设，笔者又想到了一个貌似更优的解法。

实际上我们并不需要考虑原图的所有节点。容易想到，从给定起点向外作一轮tarjan算法（dfs）不能达到的点，在新图中也不可能走到。因此，我们只需要对图中以s为原点作一次tarjan能够跑到的几个连通分量进行缩点，这样能够到达的区域就变成了一棵以s为根的树。我们只需要再作一次dfs求出最深叶节点的深度即可。

(注：以下代码注释分部分为除最后一种思路的其余解法，仅供参考）

1. #include <cstdio>  
2. #include <iostream>  
3. #include <queue>  
4. #include <climits>  
5. #define rint register int  
6. #define BUG putchar(‘*‘)  
7. #define maxn 80010  
8. #define maxm 200010  
9. using namespace std;  
10.   
11. struct E   
12.     int to, nxt, w;  
13.     double op;  
14.  edge[maxm], edge2[maxm];  
15. int n, m, st;  
16. int head[maxn], top;  
17. inline void insert(int u, int v, int w, double op)   
18.     edge[++top] = (E) v, head[u], w, op;  
19.     head[u] = top;  
20.   
21. int dfn[maxn], low[maxn], sta[maxn], stp, timer;  
22. bool ins[maxn], vis[maxn];  
23. int cnt, c[maxn];  
24. void dfs(int u)   
25.     dfn[u] = low[u] = ++timer;  
26.     sta[++stp] = u;  
27.     ins[u] = true;  
28.     vis[u] = true;//  仅搜一次标记所答点
29.     for (rint i = head[u]; i; i = edge[i].nxt)   
30.         int v = edge[i].to;  
31.         if (!dfn[v])   
32.             dfs(v);  
33.             low[u] = min(low[u], low[v]);  
34.          else if (ins[v])  
35.             low[u] = min(low[u], dfn[v]);  
36.       
37.     if (dfn[u] == low[u])   
38.         ++cnt;  
39.         int x;  
40.         do   
41.             x = sta[stp--];  
42.             ins[x] = false;  
43.             c[x] = cnt;  
44.          while (x != u);  
45.       
46.   
47. void tarjan()   
48. //  for (int i = 1; i <= n; ++i) //  全图tarjan
49. //      if (!dfn[i]) dfs(i);  
50.     dfs(st);  
51.   
52. int head2[maxn], top2;  
53. inline void insert2(int u, int v, int w)   
54.     edge2[++top2] = (E) v, head2[u], w, 0;  
55.     head2[u] = top2;  
56.   
57. int val[maxn], ind[maxn];  
58. void build()   
59.     rint v, w;  
60.     for (rint u = 1; u <= n; ++u)  
61.         if (vis[u])//  仅考虑一次搜索 缩点得树
62.         for (int i = head[u]; i; i = edge[i].nxt)   
63.             v = edge[i].to;  
64.             w = edge[i].w;  
65.             if (c[u] == c[v])   
66.                 register double op = edge[i].op;  
67.                 while (w)   
68.                     val[c[u]] += w, w *= op;  
69.              else   
70.                 insert2(c[u], c[v], w), ind[c[v]]++;  
71.           
72.   
73. //************************  
74. /*  DAG 拓扑序dp
75. int f[maxn];  
76. queue<int> q;  
77. int dp()   
78.     int ans = val[c[st]];  
79.     for (int i = 1; i <= cnt; ++i)   
80.         f[i] = INT_MIN;  
81.         if (!ind[i]) q.push(i);  
82.       
83.     f[c[st]] = val[c[st]];  
84.     while (!q.empty())   
85.         int u = q.front(); q.pop();  
86.         for (int i = head2[u]; i; i = edge2[i].nxt)   
87.             int v = edge2[i].to;  
88.             f[v] = max(f[v], f[u] + edge2[i].w + val[v]);  
89.             --ind[v];  
90.             if (!ind[v])   
91.                 ans = max(ans, f[v]), q.push(v);  
92.           
93.       
94.     return ans;  
95.   
96. */  
97. //**************************  
98. /*  spfa
99. bool inq[maxn];  
100. int dist[maxn];  
101. int spfa()   
102.     for (int i = 1; i <= cnt; ++i)  
103.         dist[i] = INT_MIN;  
104.     dist[c[st]] = val[c[st]];  
105.     queue<int> q;  
106.     inq[c[st]] = true, q.push(c[st]);  
107.     while (!q.empty())   
108.         int u = q.front();  
109.         q.pop(), inq[u] = false;  
110.         for (int i = head2[u]; i; i = edge2[i].nxt)   
111.             int v = edge2[i].to;  
112.             if (dist[v] < dist[u] + edge2[i].w + val[v])   
113.                 dist[v] = dist[u] + edge2[i].w + val[v];  
114.                 if (!inq[v])  
115.                     q.push(v), inq[v] = true;  
116.               
117.           
118.       
119.     int ans = 0;  
120.     for (int i = 1; i <= cnt; ++i)  
121.         ans = max(ans, dist[i]);  
122.     return ans;  
123. */  
124. //***************************  
125. int ans;  
126. void dfs2(int u, int dist)   
127.     dist += val[u];  
128.     if (!head2[u])   
129.         ans = max(ans, dist);  
130.         return;  
131.       
132.     for (int i = head2[u]; i; i = edge2[i].nxt)  
133.         dfs2(edge2[i].to, dist + edge2[i].w);  
134.   
135. int main()   
136.     scanf("%d %d", &n, &m);  
137.     int u, v, w;  
138.     double op;  
139.     for (rint i = 1; i <= m; ++i)   
140.         scanf("%d %d %d %lf", &u, &v, &w, &op);  
141.         insert(u, v, w, op);  
142.       
143.     scanf("%d", &st);  
144.     tarjan();  
145.     build();  
146. //  printf("%d", spfa());  
147. //  printf("%d", dp());  
148.     dfs2(c[st], 0);  
149.     printf("%d", ans);  
150.     return 0;  
151.