luogu 5426

Posted 2022-02-26 littlewyy

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题意

给定1个长度为2n的01数组。你可以交换相邻的元素。询问最少交换次数，使得前n个元素组成的子数组中的逆序对个数等于后n个元素组成的子数组中的逆序对个数。\(1 \leq n\leq 10^5\)

题解

普通的数组中，数的种类繁多，逆序对的求解及动态维护是很复杂的情况。

考虑利用01数组的性质，探寻逆序对个数的本质。

对于1个长度为n的子数组而言，它的逆序对个数的计算方法为，对于每个1，累加其后0的个数。而该0的个数又只与该1的下标、其后1的个数有关。

不妨采用数学方法进行化简。

设长度为\(n\)的数组中，所有1出现的位置为\(a_i\)，总共有\(x\)个1。

则逆序对总数为\(n-a_1-(x-1) + n-a_2-(x-2) + ...+n-an-(x-x) = xn - \fracx(x-1)2-\sum_i=1^xa_i\)

应用到两个子数组逆序对个数相等的情况，设对应的位置1的个数为\(b_i\)、\(y\)，可得\(xn - \fracx(x-1)2-\sum_i=1^xa_i = yn - \fracy(y-1)2-\sum_i=1^xb_i\)

经历艰苦卓绝的进一步化简，可得\(\frac\sum a_i-\sum b_iy-x=k\)，其中常数\(k=\fracx+y-1-2n2\)

因此，只要我们确定了\(x\)与\(y\)的大小，即可确定最终目标；也可以确定两边的1位位置和的变化范围（全部最靠左/全部最靠右）。简单计算即可判断目标是否能够实现。

故枚举\(x\)，则\(y\)易求。然后求达成目标的最小交换次数。考虑分步处理。

（不妨以从右至左为例）

首先，要以最少的步数将\(move\)个1从右边过渡到左边。

过渡的途径唯一：交换第n与第n+1位。因此，只有它们分别为0 1时，1次交换才能达成过渡的目的。

如果要继续过渡，则应将第n位的1向左交换。结合\(move\)个元素进行过渡的情况，发现本质是：左边数组末尾空出\(move\)个0，右边数组将\(move\)个1集中到最左端，再将它们顺次过渡。

如何以最少的步数空出\(move\)个0？经过数学推导，只需找到从右往左的第\(move\)个0的位置，将原本该位置以后的1从该位开始顺次排列。步数即为这些1的目标位置和与原位置和的差值。通过简单的预处理可以快速求解。

如何以最少的步数将\(move\)个1集中到最左端。同理，找到第\(move\)个1的位置，原位置和减去目标位置和即可。

再者，要以最少的位置实现目标的坐标和差。

不难想到，任何1个子数组的坐标和要改变1，只需将某个与0相邻的1交换1次。因此其坐标和变化范围内的任何1个值都可以达到，且每改变1只需交换1次。因此，计算将元素成功过渡后的坐标和差，将其与目标的坐标和差的差值累加入本次答案中。

时间复杂度：\(O(n)\)。代码见此

回顾与思考

问题较为奇怪烦琐时，不妨利用其性质简化问题，探寻其性质。

在面对复杂问题时要有分步思考的意识和耐心，才能抵达真理的彼岸。