最大全0/1子矩阵

Posted 2022-02-24 aegir

我们常常会遇到这样的问题：给定一个01矩阵，求其中全0/1的最大子矩阵的面积。

简单的模板题如：[Luogu]P4147，复杂点的有[Luogu]P5300

下面我们介绍一种比较容易的算法：悬线法

其实悬线法更多的是一种思想，许多最大化子矩阵的问题也能用这种思想解决。

我们想象有一条竖线，这条线的上端要么是边界，要么是障碍点，然后我们让这条线向左右拓展，直到碰到边界和障碍点。

求出一个位置的悬线后，我们就能直接计算$S = H(R - L + 1)$。然后对所有的$S$取$max$即为答案，正确性是显而易见的（不会证）

现在的问题是：对于每个位置，我们怎么计算它悬线的位置。

考虑$O(n^3)$的暴力算法：我们枚举每个位置，然后对于这个位置，$O(n)$的向其他方向拓展。

$O(n^2)$的枚举位置已经是下界，无法再优化，于是我们考虑优化计算边界的过程。

注意到在暴力算法中，我们每到一个位置都要重新计算一遍它悬线的边界，其实这是没有必要的，我们完全可以根据它前一个位置的边界来递推出当前位置的边界。

具体地，定义$up[i][j], left[i][j], right[i][j]$分别表示位置$(i, j)$的上边界，左边界，右边界的位置。我们可以这样来进行计算：

 1 //n*m的矩阵
 2 for(int i = 1; i <= m; ++i) right[0][i] = m;
 3 for(int i = 1; i <= n; ++i)
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 5     int lmax = 1, rmin = m;
 6     for(int j = 1; j <= m; ++j)
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 8         if(G[i][j]) //当前位置是障碍点
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10             lmax = j + 1;
11             up[i][j] = left[i][j] = 0;
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13         else
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15             up[i][j] = up[i - 1][j] + 1; //利用上一行的信息来计算
16             left[i][j] = max(lmax, left[i - 1][j]); //还要考虑到上一行的左边界
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19     for(int j = m; j; --j)s
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21         if(G[i][j])
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23             rmin = j - 1;
24             right[i][j] = m; //设置成m，避免影响下一行的计算（第2行和第11行的赋值也是同理）
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26         else
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28             right[i][j] = min(rmin, right[i - 1][j]);
29             ans = max(ans, (right[i][j] - left[i][j] + 1) * up[i][j]); //计算面积，取最大值
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