[高等数学]解析一道关于函数极限的概念考察题(001)

Posted 2022-02-23 zhaokaifeng

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[高等数学]解析一道关于函数极限的概念考察题(001)相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

原文: https://zhaokaifeng.com/?p=1935

题目

下列命题中正确的是（）

( A ) 若 \\(\\lim_x \\rightarrow x_0 f(x) \\geqslant \\lim_x \\rightarrow x_0g(x)\\), 则 \\(\\exists \\varepsilon > 0\\), 当 \\(0<|x-x_0|<\\varepsilon\\) 时，\\(f(x) \\geqslant g(x)\\).

( B ) 若 \\(\\exists \\varepsilon>0\\), 当 \\(0<|x-x_0|<\\varepsilon\\) 时，\\(f(x)>g(x)\\), 且 \\(\\lim_x \\rightarrow x_0f(x)=A_0, \\lim_x \\rightarrow x_0g(x)=B_0\\), 则 \\(A_0>B_0\\).

( C ) 若 \\(\\exists \\varepsilon>0\\), 当 \\(0<|x-x_0|<\\varepsilon\\) 时，\\(f(x)>g(x)\\), 则 \\(\\lim_x \\rightarrow x_0f(x) \\geqslant \\lim_x \\rightarrow x_0g(x)\\).

( D ) 若 \\(\\lim_x \\rightarrow x_0f(x)>\\lim_x \\rightarrow x_0g(x)\\), 则 \\(\\exists \\varepsilon>0\\), 当 \\(0<|x-x_0|<\\varepsilon\\) 时，\\(f(x)>g(x)\\).

解析

概念考察题是考研数学中一类比较难的题，这类题的难点在于除了紧抠概念之外，解答者没有多少可以自由发挥的空间。而且，概念考察题考察的都是概念的细微之处，一不留神就可能审错题。

从本题的四个选项可以看出，本题考查的着重点在函数极限这一部分。更细致的来看，本题考查了函数极限的定义中当 \\(x \\rightarrow x_0\\) 时的极限的定义，如下：

已知 \\(\\lim_x \\rightarrow x_0f(x)=A\\)

任给 \\(\\varepsilon >0\\), 存在正数 \\(\\delta\\), 当 \\(0<x-x_0<\\delta\\) 时，就有 \\(|f(x)-A|<\\varepsilon\\).

注：上面这个定义说的通俗一点就是，当 \\(x\\) 与 \\(x_0\\) 足够接近的时候，\\(f(x)\\) 与 \\(f(x)\\) 的极限 \\(A\\) 也足够接近。

本题还考察了函数极限的性质中的“保号性”，如下：

设 \\(\\lim f(x)=A>0\\), 则在极限管辖的范围内，\\(f(x)>0(f(x)>\\fracA2)\\).

反之，\\(f(x)>0\\) 且 \\(\\lim f(x)=A \\Rightarrow A \\geqslant 0\\).

注：当 \\(x \\rightarrow x_0\\) 时，“极限管辖的范围”指的就是 \\(x_0\\) 的去心邻域；当 \\(x \\rightarrow \\infty\\) 时，“极限管辖的范围”指的就是无穷远处。

对于函数极限的性质中的保号性，我们需要明确以下几点：

解答保号性问题的大前提是“涉及到的函数的极限均存在”，这也是解决所有涉及极限的问题的大前提：要研究和利用极限，则极限必须存在；
保号性都是局部保号性，即只有在极限管辖的范围内才存在保号性；
由极限大于 \\(0\\) 可以推出函数大于 \\(0\\), 不能推出函数等于 \\(0\\) 或者函数小于 \\(0\\). 由函数大于 \\(0\\) 可以推出极限大于 \\(0\\) 或者极限等于 \\(0\\), 而且在不确定极限究竟是只大于 \\(0\\) 还是只小于 \\(0\\) 的情况下，要写成极限大于等于 \\(0\\) 的形式。

以下是对本题中每一个选项的分析。

A 选项

该选项给出了：

\\(\\lim_x \\rightarrow x_0 f(x) \\geqslant \\lim_x \\rightarrow x_0g(x)\\)

这说明 \\(f(x)\\) 和 \\(g(x)\\) 的极限都存在（满足了研究极限问题的大前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤）且 \\(f(x)\\) 的极限大于等于 \\(f(x)\\) 的极限。

于是，我们有：

\\(\\lim_x \\rightarrow x_0(f(x)-g(x)) \\geqslant 0\\)

接下来选项给出了：

若 \\(\\exists \\varepsilon > 0\\), 当 \\(0<|x-x_0|<\\varepsilon\\) 时

这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法，具备使用保号性的前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。

该选项接下来指出，由上面的条件可以推出 \\(f(x) \\geqslant g(x)\\).

这个结论是不对的。原因如下：

若函数 \\(f(x)\\) 的极限 \\(A >0\\), 则可以推出函数 \\(f(x)>0\\);

若函数 \\(f(x)\\) 的极限 \\(A<0\\), 则可以推出函数 \\(f(x)<0\\);

若函数 \\(f(x)\\) 的极限 \\(A=0\\), 则不能确定函数 \\(f(x)\\) 是大于 \\(0\\), 小于 \\(0\\) 还是等于 \\(0\\). 原因是，如果 \\(A=0\\) 我们不知道函数 \\(f(x)\\) 是在大于 \\(0\\) 的方向上趋近于极限 \\(A\\), 还是在小于 \\(0\\) 的方向上趋近于极限 \\(A\\), 抑或 \\(f(x)=0\\).

如图 1 所示，当函数的极限等于 \\(0\\) 时，函数可能是大于 \\(0\\) 的：

技术图片

图 1. y=1/x 的局部图像，使用 www.desmos.com 生成

如图 2 所示，当函数的极限等于 0 时，函数也可能是小于 \\(0\\) 的：

技术图片

图 2. y=1/(-x) 的局部图像，使用 www.desmos.com 生成

第三种情况，当函数的极限等于 \\(0\\) 时，函数可能也是等于 \\(0\\) 的，如图 3 所示：

技术图片

图 3. y=0 的局部图像，使用 www.desmos.com 生成

因此，已知极限 \\(\\lim_x \\rightarrow x_0[f(x)-g(x)]\\geqslant0\\), 并不能推导出函数 \\(F(x)=[f(x)-g(x)]\\geqslant0\\).

综上可知，选项 A 是错误的。

B 选项

题目中给出了如下条件：

若 \\(\\exists \\varepsilon>0\\), 当 \\(0<|x-x_0|<\\varepsilon\\) 时

因此，本题符合函数极限保号性的使用条件，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。

接着，该选项给出：

\\(f(x)>g(x)\\)

于是，当我们令 \\(F(x)=f(x)-g(x)\\) 时，可以得出如下结论：

\\(F(x)>0\\)

接着，该选项又给出：

\\(\\lim_x \\rightarrow x_0f(x)=A_0, \\lim_x \\rightarrow x_0g(x)=B_0\\)

这说明函数 \\(f(x)\\) 和函数 \\(g(x)\\) 都是存在极限的，符合我们研究函数极限问题的大前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。

最后，该选项给出了他的结论：

\\(A_0>B_0\\)

有了这个结论，结合前面的条件，我们可以把该选项改写成如下形式：

已知函数 \\(F(x)\\) 存在极限，且函数 \\(F(x)>0\\), 则 \\(\\lim_x \\rightarrow x_0F(x)>0\\).

这个结论显然是错误的，因为已知函数大于 \\(0\\) 的时候，其极限是可能等于 \\(0\\) 的，例如对 A 选项的解析中给出的图 1, 函数 \\(f(x)=\\frac1x\\) 始终是大于 \\(0\\) 的，但是其极限却是等于 \\(0\\) 的。

综上可知，选项 B 是错误的。

C 选项

该选项的错误比较明显，因为选项中没有指明函数 \\(f(x)\\) 和函数 \\(g(x)\\) 的极限存在，缺少了研究极限问题的大前提，那么，接下来的所有说明和结论都是没有根据也没有意义的。不过，如果 C 选项像 B 选项一样指明函数 \\(f(x)\\) 和函数 \\(g(x)\\) 的极限是存在的，那么该选项的表述就是正确的，原因在 B 选项中已经分析过。

综上可知，选项 C 是错误的。