陶哲轩实分析Chap5-命题5.4.14

Posted 2022-02-22 puyiniao

命题5.4.14 给定任意两个实数\(x< y\)，我们能够找到一个有理数\(q\)使得\(x<q<y\)。
证明：
设\(x=LIM_n \to \inftya_n，y=LIM_n \to \inftyb_n\)
\(\because x<y\)，由定义5.4.6(实数的排序)、定义5.4.3(实数的正负)得
\(y-x=LIM_n \to \infty(b_n-a_n)\)为正\(=LIM_n \to \inftyc_n\)
其中\((c_n)^\infty_n=1\)为正远离\(0\)的柯西序列，$\foralln \geq 1，c_n \geq c > 0，c \in \mathbbQ $
由定义5.3.1(实数的相等)得\((b_n-a_n)^\infty_n=1\)与\((c_n)^\infty_n=1\)等价，即
\(\forall\varepsilon_1 > 0，\existsN_1 \in \mathbbN，s.t. \vert b_n-a_n-c_n\vert \leq \varepsilon_1\)对\(\foralln \geq N_1\)成立
由定义5.1.8(柯西序列)得
\(\forall\varepsilon_2 > 0，\existsN_2 \in \mathbbN，s.t. \vert a_n-a_N_2\vert \leq \varepsilon_2\)对\(\foralln \geq N_2\)成立
\(\forall\varepsilon_3 > 0，\existsN_3 \in \mathbbN，s.t. \vert b_n-b_N_3\vert \leq \varepsilon_3\)对\(\foralln \geq N_3\)成立
令\(\varepsilon_1=\varepsilon_2=\varepsilon_3=\fracc4\)，\(N=max\N_1，N_2，N_3\\)，对\(\foralln \geq N\)
\(\vert b_n-a_n-c_n\vert \leq \fracc4\Rightarrow c-\fracc4=\frac3c4 \leq c_n-\fracc4 \leq b_n-a_n \leq c_n+\fracc4 \Rightarrow \frac3c4 \leq c_N-\fracc4 \leq b_N-a_N \leq c_n+\fracc4\)
\(\vert b_n-b_N\vert \leq \fracc4\Rightarrow b_N-\fracc4 \leq b_n \leq b_N+\fracc4\)
\(\vert a_n-a_N\vert \leq \fracc4\Rightarrow a_N-\fracc4 \leq a_n \leq a_N+\fracc4\)
取\(q=\fraca_N+b_N2\)
\(b_n-q=b_n-\fraca_N+b_N2 \geq b_N-\fracc4-\fraca_N+b_N2=\fracb_N-a_N2-\fracc4 \geq \frac3c8-\fracc4=\fracc8>0\)，\(n \geq N\)
\(q-a_n=\fraca_N+b_N2-a_n \geq \fraca_N+b_N2-a_N-\fracc4=\fracb_N-a_N2-\fracc4 \geq \frac3c8-\fracc4=\fracc8>0\)，\(n \geq N\)
令\((D_n)^\infty_n=1=\beginequation \left\ \beginarrayc \fracc8，n<N \\ b_n，n \geq N \\ \endarray \right. \endequation\)与\((b_n-q)^\infty_n=1\)等价，\(y-q=LIM_n \to \infty(b_n-q)=LIM_n \to \inftyD_n\)
\(\because \foralln \geq 1，D_n \geq \fracc8\)，\(\therefore (D)^\infty_n=1\)为正远离\(0\)的柯西序列，\(y-q=LIM_n \to \inftyD_n\)为正，即\(y>q\)
同理令\((E_n)^\infty_n=1=\beginequation \left\ \beginarrayc \fracc8，n<N \\ a_n，n \geq N \\ \endarray \right. \endequation\)与\((q-a_n)^\infty_n=1\)等价，\(q-x=LIM_n \to \infty(q-a_n)=LIM_n \to \inftyE_n\)
又\(\because \foralln \geq 1，E_n \geq \fracc8(E_n)^\infty_n=1\)为正远离0的柯西序列，\(\therefore q-x=LIM_n \to \inftyE_n\)为正，即\(q>x\)
综上，对任意两个实数\(x<y\)，总存在有理数\(q\)使得\(x<q<y\)