Codeforces 747F Igor and Interesting Numbers DP 组合数

Posted 2022-02-14 pkgunboat

题意：给你一个数n和t,问字母出现次数不超过t，第n小的16进制数是多少。

思路：容易联想到数位DP, 然而并不是。。。我们需要知道有多少位，在知道有多少位之后，用试填法找出答案。我们设dp[i][j]为考虑前i种字母，已经占了j个位置的方案数。那么dp[i][j] += dp[i - 1][j - k] * C[len - j + k][k]，k的范围为[0, limit[k]]。意思是我们暴力枚举第i个字母放多少个，然后排列组合。

这个题有一个细节需要注意，因为最高为一定不为0，所以我们试填的时候可以直接把最高位为0的所有数提前减掉，然后试填的时候跳过最高位为0的情况。最高位为0的所有数在找多少位的时候顺便就算出来了。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
int limit[20];
LL C[20][20], dp[20][20];
void out(int x) 
	if(x < 10) printf("%d", x);
	else printf("%c", x - 10 + ‘a‘);

LL solve(int len, int flag) 
	if(len == 0) return 1;
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	for (int i = 0; i <= len && i <= limit[0]; i++)
		dp[0][i] = C[len][i];
	for (int i = 1; i < 16; i++)
		for (int j = 0; j <= len; j++) 
			for (int k = 0; k <= j && k <= limit[i]; k++) 
				dp[i][j] += dp[i - 1][j - k] * C[len - j + k][k];
			
		
	return dp[15][len];		

int res[20];
int main() 
	LL n, ans;
	int m;
	scanf("%lld%d", &n, &m);
	ans = n;
	for (int i = 0; i < 16; i++) limit[i] = m;
	for (int i = 0; i <= 15; i++) C[i][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= 15; i++)
		for (int j = 1; j <= i; j++) 
			C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j];
	int pos = -1;
	for (int i = 0; i >= 0; i++) 
		LL tmp = 0;
		for (int j = 1; j < 16; j++) 
			limit[j]--;
			tmp += solve(i, j);
			limit[j]++;
			if(tmp >= ans) 
				pos = i;
				break;
			
		
		if(tmp >= ans) break;
		else ans -= tmp;
	
	n = ans;
	for (int i = pos; i >= 0 ; i--) 
		for (int j = 0; j < 16; j++) 
			if(i == pos && j == 0) continue;
			if(limit[j] == 0) continue;
			limit[j]--;
			LL tmp = solve(i, j);
			limit[j]++;
			if(tmp < n) 
				n -= tmp;
			 else 
				res[i] = j;
				limit[j]--;
				break;
			
		
	
	for (int i = pos; i >= 0; i--) 
		out(res[i]);
	
	printf("\n");