AtCoder ABC 129E Sum Equals Xor

Posted 2022-02-14 zaq19970105

题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc129/tasks/abc129_e

题目大意

　　给定一个二进制表示的数 L，问有多少对自然数 (a, b) 满足 $a + b \leq L 且 a + b = a \oplus b $。

分析

　　由于异或是无进位相加，所以 $a + b = a \oplus b $ 等价于 a 和 b 的每一位对应二进制位都不会是两个 1。

　　设 L 有 n 个 1。按 L 中的顺序编号为 n~1。

　　设 L(i) 为编号为 i 的 1 到 L 末尾所形成的子串。

　　设 Ans(i) 为 L(i) 包含的自然数对数。

　　a + b 有以下两种情况：

1. a + b 的最高位和 L(i) 的最高位一样都是 1：那么 a 和 b 在 i 号 1 和 i + 1 号 1 之间的对应位置上必然全为 0，因此答案取决于 Ans(i - 1)，而由于 a 和 b 可以互换，因此这部分贡献为 2 * Ans(i - 1)，为方便计算可设 Ans(0) = 1。
2. a + b 的最高位是 0 (相对于 L(i) 的最高位)：那么 a 和 b 剩下的二进制位就没有限制了，每个 a, b 的二进制位都可以有 (0, 0), (0, 1), (1, 0) 三种情况，因此，总贡献为 $3^L(i).size() - 1$。

代码如下

  1 #include <bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3  
  4 #define INIT() ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
  5 #define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
  6 #define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
  7 #define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
  8 #define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
  9 #define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
 10 #define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
 11 #define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i)
 12  
 13 #define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
 14 #define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
 15  
 16 #define LOWBIT(x) ((x)&(-x))
 17  
 18 #define ALL(x) x.begin(),x.end()
 19 #define INS(x) inserter(x,x.begin())
 20 #define UNIQUE(x) x.erase(unique(x.begin(), x.end()), x.end())
 21 #define REMOVE(x, c) x.erase(remove(x.begin(), x.end(), c), x.end()); // 删去 x 中所有 c 
 22 #define TOLOWER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::tolower);
 23 #define TOUPPER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::toupper);
 24  
 25 #define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
 26 #define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
 27 #define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a))
 28 
 29 #define MP make_pair
 30 #define PB push_back
 31 #define ft first
 32 #define sd second
 33  
 34 template<typename T1, typename T2>
 35 istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) 
 36     in >> p.first >> p.second;
 37     return in;
 38 
 39  
 40 template<typename T>
 41 istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) 
 42     for (auto &x: v)
 43         in >> x;
 44     return in;
 45 
 46  
 47 template<typename T1, typename T2>
 48 ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) 
 49     out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "\n";
 50     return out;
 51 
 52 
 53 inline int gc()
 54     static const int BUF = 1e7;
 55     static char buf[BUF], *bg = buf + BUF, *ed = bg;
 56     
 57     if(bg == ed) fread(bg = buf, 1, BUF, stdin);
 58     return *bg++;
 59  
 60 
 61 inline int ri()
 62     int x = 0, f = 1, c = gc();
 63     for(; c<48||c>57; f = c==‘-‘?-1:f, c=gc());
 64     for(; c>47&&c<58; x = x*10 + c - 48, c=gc());
 65     return x*f;
 66 
 67 
 68 template<class T>
 69 inline string toString(T x) 
 70     ostringstream sout;
 71     sout << x;
 72     return sout.str();
 73 
 74 
 75 inline int toInt(string s) 
 76     int v;
 77     istringstream sin(s);
 78     sin >> v;
 79     return v;
 80 
 81 
 82 //min <= aim <= max
 83 template<typename T>
 84 inline bool BETWEEN(const T aim, const T min, const T max) 
 85     return min <= aim && aim <= max;
 86 
 87  
 88 typedef long long LL;
 89 typedef unsigned long long uLL;
 90 typedef pair< double, double > PDD;
 91 typedef pair< int, int > PII;
 92 typedef pair< int, PII > PIPII;
 93 typedef pair< string, int > PSI;
 94 typedef pair< int, PSI > PIPSI;
 95 typedef set< int > SI;
 96 typedef set< PII > SPII;
 97 typedef vector< int > VI;
 98 typedef vector< double > VD;
 99 typedef vector< VI > VVI;
100 typedef vector< SI > VSI;
101 typedef vector< PII > VPII;
102 typedef map< int, int > MII;
103 typedef map< int, string > MIS;
104 typedef map< int, PII > MIPII;
105 typedef map< PII, int > MPIII;
106 typedef map< string, int > MSI;
107 typedef map< string, string > MSS;
108 typedef map< PII, string > MPIIS;
109 typedef map< PII, PII > MPIIPII;
110 typedef multimap< int, int > MMII;
111 typedef multimap< string, int > MMSI;
112 //typedef unordered_map< int, int > uMII;
113 typedef pair< LL, LL > PLL;
114 typedef vector< LL > VL;
115 typedef vector< VL > VVL;
116 typedef priority_queue< int > PQIMax;
117 typedef priority_queue< int, VI, greater< int > > PQIMin;
118 const double EPS = 1e-8;
119 const LL inf = 0x7fffffff;
120 const LL infLL = 0x7fffffffffffffffLL;
121 const LL mod = 1e9 + 7;
122 const int maxN = 1e5 + 7;
123 const LL ONE = 1;
124 const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
125 const LL oddBits = 0x5555555555555555;
126 
127 string L;
128 LL ans = 1;
129 
130 void mul_mod(LL &x, LL y) 
131     x = (x * y) % mod;
132 
133 
134 void add_mod(LL &x, LL y) 
135     x = (x + y) % mod;
136 
137 
138 LL pow_mod(LL x, LL y) 
139     LL ret = 1;
140     while(y) 
141         if(y & 1) mul_mod(ret, x);
142         mul_mod(x, x);
143         y >>= 1;
144     
145     return ret;
146  
147 
148 int main()
149     //freopen("MyOutput.txt","w",stdout);
150     //freopen("input.txt","r",stdin);
151     //INIT();
152     cin >> L;
153     rFor(i, L.size() - 1, 0) 
154         if(L[i] == ‘1‘) 
155             mul_mod(ans, 2);
156             add_mod(ans, pow_mod(3, L.size() - i - 1));
157         
158     
159     cout << ans << endl;
160     return 0;
161 

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