状态压缩与二进制

Posted 2022-02-13 gcfer

自己最烦二进制，但还是痛定思痛，耐心学着...

普通的数都是十进制，二进制便是逢2进一，我觉得它最大的用途就可以表示一系列的东西用于不用上，用则为1，不用为0，比如说四个物体，可以用1111表示，再把1111用十进制表示15，这样15就可以表示这一状态。

说从最基础的说起：一般的n个物体，用二进制表示就需要有n个位置，这时的十进制是多少呢？可以用<<表示，例如1<<2，就表示100，那n个物体就需要1<<n，才能表示1后n个0，前面要多一个1，因为你要把n个1的情况也包括，例如：n=4,1<<4就表示10000，开数组后从0计数，就可以包括1111这种状态了，其实不难发现，1<<n和2的n次方是一样的.所以数据范围一般就是2的n次方倍时就可以考虑状压了。

其次：要明白一些最基本的位运算的用法：&表示与，有0取0，|表示或，有1取1，^表示异或，相同取0，否则取1.这个对我来说挺难记得，我是这样记得：&,|,^，这三个顺序记好，之后就是0,1，是否相等...还有就是<<=就是数要向左移几位，后面用0补齐，例如：4<<2,4用二进制表示为100，操作后变成10000；相反>>=就是原数想右移，最后几位舍去，例如：4>>2就从100变成了1；

说一些其他用法，基本上是状压DP需要的：如何判断一个二进制数的某一位是否为1或0呢？可以用&，|与1的左移，例如：if（i&1<<（j-1）） continue；表明如果i的二进制数如果第j位为1的话，就跳过；其实很好理解，1<<(j-1)就表示一个第j位为1，其余位为0的二进制数。此事用i与它做&运算，有0取0，所以除了第j位，其余位一定取0，那么如果第j位为0，整体就是0，不执行.相反，如果第j位为1，整体有值，进行continue。如果想要判断为0是跳过，只需在前面加上！即可.之后再说如何修改?即例如1011，如何改成1111，把0改成另一个状态.这时我们就要用上|，也就是有1取1，例如：i|1<<（j-1）（此时已判断过i的第j位为0）就表示i的第j位由0变成1.这个很好理解由于1<<（j-1）除了第j位上为1，其余位上都是0，此时的|相当于把i的其他位复制下来，只把第j位修改为1；

好了说了这么多见题：

 

此题我第一次看就想不到DP，因为它是排列型的问题.不知道该怎么用状态表示，之后才明白这时状压DP的例题...

既然是排列，那我们就只能标记用于不用，用用过的推没用过的...

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define _ 0
using namespace std;
const int maxn=20;
ll f[1<<maxn][maxn],n,H,h[maxn],ans;
int main()

    freopen("1.in","r",stdin);
    cin>>n>>H;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>h[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) f[1<<(i-1)][i]=1; //对第i位只放i的初始化;
    for(int i=1;i<=(1<<n)-1;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++) //枚举上一个 
            for(int k=1;k<=n;k++) //枚举当前放的
            
                if(i&1<<(k-1)) continue; //假如说当前k已经放过则跳过.
                if(abs(h[k]-h[j])>H) f[i|1<<(k-1)][k]+=f[i][j];
            
    for(int i=1;i<=n;i++) ans+=f[(1<<n)-1][i];
    cout<<ans<<endl;
    return (0^_^0);         

好了，就到这吧！