算法总结图论-最短路径

Posted 2022-02-13 yun-an

【算法总结】图论-最短路径

一、概念

最短路径问题。即寻找图中某两个特定结点间最短的路径长度。所谓图上的路径，即从图中一个起始结点到一个终止结点途中经过的所有结点序列，路径的长度即所经过的边权和。 

二、Floyd算法

用邻接矩阵保存原图，那么此时邻接矩阵中 edge[i][j]的值即表示从结点 i 到 结点j，中间不经过任何结点时距离的最小值(若它们之间有多条边，取最小权值保存至邻接矩阵；也可能为无穷，即不可达)。假设结点编号为 1 到 N，我们再考虑从结点i 到结点j中间只能经过编号小于等于1的结点（也可以不经过）时最短路径长度。与原始状况相比，在中间路径上可以经过的结点增加了编号为1 的结点。我们又知道，最短路径上的结点一定不会出现重复（不考虑存在负权值的情况）。那么，某两个结点间若由于允许经过结点 1 而出现了新的最短路径， 则该路径被结点 1 分割成两部分：由 i 到结点 1，同时中间路径上不经过结点 1 的第一段路径；由结点 1 到 j，中间路径上同样不经过结点 1 的第二段路径，其路径总长度为edge[i][1] + edge[1][j]。要确定该路径是否比不允许经过结点1时更短，我们比较edge[i][1] + edge[1][j]与edge[i][j]之间的大小关系。若前者较小， 则说明中间路径经过结点1时比原来更短，则用该值代表由i 到j 中间路径结点 编号小于等于1的最短路径长度；否则，该路径长度将依然保持原值edge[i][j]， 即虽然允许经过结点1，但是不经过时路径长度最短。 

考虑更一般的情况，若edge[i][j]表示从结点i到结点j，中间只能经过编号小于k的点时的最短路径长度，我们可以由这些值确定当中间允许经过编号小于等 于k的结点时，它们之间的最短路径长度。同样，与原情况相比，新情况中允许出现在中间路径的结点新增了编号为 k 的结点，同理我们确定 edge[i][k] + edge[k][j]的值与edge[i][j]的值，若前者较小则该值代表了新情况中从结点i到结 点j的最短路径长度；否则，新情况中该路径长度依旧保持不变。 

如上文所说，在图的邻接矩阵表示法中，edge[i][j]表示由结点i到结点j中间 不经过任何结点时的最短距离，那么我们依次为中间允许经过的结点添加结点 1、结点 2、……直到结点N，当添加完这些结点后，从结点i到结点j允许经过所有结点的最短路径长度就可以确定了，该长度即为原图上由结点 i 到结点 j 的 最短路径长度。

我们设ans[k][i][j]为从结点i到结点j允许经过编号小于等于k的结点时其最短路径长度。如上文，ans[0][i][j]即等于图的邻接矩阵表示中 edge[i][j]的值。我们通过如下循环，完成所有k对应的ans[k][i][j]值的求解：

for (int k = 1; k <= n; k++)//从1至n循环k

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    
        for (int j = 1; j <= n; j++)//遍历所有的i，j
        
            if (ans[k - 1][i][k] == 无穷 || anx[k - 1][k][j] == 无穷)//当允许经过前k-1个结点时，i，j不能与k联通，则ij之间目前为止不存在经过k的路径
            
                ans[k][i][j] = ans[k - 1][i][j];//保持原值，即从i到j经过前k个点和允许经过前k-1个结点时最短路径长度相同
                continue;
            
            if (ans[k - 1][i][j] == 无穷 || anx[k - 1][i][k] + ans[k - 1][k][j] < ans[k - 1][i][j])ans[k][i][j] = anx[k - 1][i][k] + ans[k - 1][k][j];//经过前k-1个结点，i,j不连通或者经过结点k可以得到更短的路径，则更新最短值
            else ans[k][i][j] = ans[k - 1][i][j];
        
    

经过这样的n次循环后，我们即可得到所有结点间允许经过所有结点条件下的最短路径长度，该路径长度即为我们要求的最短路径长度。即若要求得 ab 之间的最短路径长度，其答案为ans[n][a][b]的值。 

同时我们注意到，我们在通过ans[k - 1][i][j]的各值来递推求得ans[k][i][j]的值时，所有的ans[k][i][j]值将由ans[k - 1][i][j]和ans[k - 1][i][k] + ans[k - 1][k][j]的大小关系确定，但同时ans[k][i][k]和ans[k][k][j]必定与ans[k - 1][i][k]和ans[k - 1][k][j]的值相同，即这些值不会因为本次更新而发生改变。所以我们将如上代码片段简化成如下形式： 

for (int k = 1; k <= n; k++)//从1至n循环k

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    
        for (int j = 1; j <= n; j++)//遍历所有的i，j
        
            if (ans[i][k] == 无穷 || anx[k][j] == 无穷)continue;
            if (ans[i][j] == 无穷 || anx[i][k] + ans[k][j] < ans[i][j])ans[i][j] = anx[i][k] + ans[k][j];
        
    

如该代码片段所示，我们将原本的三维数组简化为二维数组，而每次更新时直接在该二维数组上进行更新。这是有原因的，当最外层循环由k - 1变为k时， 各 ans[i][k]和 ans[k][j]的值不会因为本次更新发生改变（当前 i 到 k 的最短路径中途必不经过结点k），而本次更新又是由它们的值和各ans[i][j]的值比较而进行 的。所以我们直接在二维数组上进行本次更新，并不会影响到本次更新中其它各值的判定。节省了大量的内存空间，同时还省略了保持原值的操作。

例 5.5 最短路 

解题思路

本例是最简单的最短路问题了。我们首先分析复杂度，如我们在上文中给出的代码所示，floyd算法主要包括一个三重循环，每重循环的循环次数均是N，这样 Floyd算法的时间复杂度为O(N^3)，空间复杂度为O(N^2)，其中N均为图中结点的个数。

在本例中N最大值为100，N^3的时间复杂度尚在我们可以接受的范围内。 

AC代码

#include<cstdio>

int ans[101][101];//二维数组，其初始值即为该图的邻接矩阵

int main()

    int n, m;
    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
    
        if (n == 0 && m == 0)break;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            
                ans[i][j] = -1;//初始化邻接矩阵，用-1代表无穷
            
            ans[i][i] = 0;//初始化，自己到自己的路径长度为0
        
        while (m--)//读入道路
        
            int a, b, c;
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            ans[a][b] = ans[b][a] = c;//无向图，赋值两次
        
        for (int k = 1; k <= n; k++)
        
            for (int i = 1; i <= n; i++)
            
                for (int j = 1; j <= n; j++)
                
                    if (ans[i][k] == -1 || ans[k][j] == -1)continue;
                    if (ans[i][j] == -1 || ans[i][k] + ans[k][j] < ans[i][j])ans[i][j] = ans[i][k] + ans[k][j];
                
            
        
        printf("%d\n", ans[1][n]);
    
    return 0;

AC代码