算术表达式的前缀，中缀，后缀相互转换

Posted 2022-02-12 lipandl

原博客地址：https://blog.csdn.net/smartab/article/details/81215940

中缀表达式（中缀记法）
中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。

前缀表达式（前缀记法、波兰式）
前缀表达式的运算符位于操作数之前。

前缀表达式的计算机求值：
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”：
(1) 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈；
(4) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。
详细解释：http://blog.csdn.net/antineutrino/article/details/6763722/

给出一个中缀表达式如下：
a+b*c-(d+e) 
第一步：按照运算符的优先级对所有的运算单位加括号，
         式子变成了：((a+(b*c))-(d+e)) 
第二步：转换前缀与后缀表达式 
         前缀：把运算符号移动到对应的括号前面 
               则变成了：-( +(a *(bc)) +(de)) 
               把括号去掉：-+a*bc+de   前缀式子出现 
         后缀：把运算符号移动到对应的括号后面 
               则变成了：((a(bc)* )+ (de)+ )- 
               把括号去掉：abc*+de+-   后缀式子出现

<1> 将中缀表达式“1+((2+3)*4)-5”转换为前缀表达式。

（1）构建两个栈，一个存运算符一个存操作数。运算符（以括号分界点）在栈内遵循越往栈顶优先级不降低的原则排序。

（2）从右往左扫描中缀式表达式，从右边第一个字符开始判断。

  如果当前字符是数字，则分配到数字串的结尾并将数字串直接输出。

  如果是运算符，则比较优先级。如果当前运算符的优先级大于等于栈顶运算符的优先级(当栈顶是括号时，直接入栈)，则将运算符直接入栈；否则将栈顶运  算符出栈并输出，直到当前运算符的优先级大于等于栈顶运算符的优先级(当栈顶元素是括号直接入栈)，再将当前运算符入栈。如果是括号，则根据括号的  方向进行处理。如果是括号直接入栈；否则，遇右括号前将所有的运算符全部出栈并输出，遇右括号后将左右的两括号一起删除。

（3）重复上述操作(2)直至扫描结束，将栈内剩余运算符全部出栈并输出，再将缀输出字符串。中缀表达式就变成了前缀表达式了。

 

中缀表达式	前缀表达式	（栈顶）运算符栈（栈尾）	说明
5	5	空	5，是数字串直接输出
-	5	-	-，栈内无运算符，直接入栈
）	5	-）	)，直接入栈
4	5 4	-）	4，是数字串直接输出
*	5 4	-）*	*，栈顶是括号，直接入栈
)	5 4	- ) * )	)，直接入栈
3	5 4 3	- ) * )	3，是数字串直接输出
+	5 4 3	- ) * ) +	+，栈顶是括号，直接入栈
2	5 4 3 2	- ) * )+	2，是数字串直接输出
(	5 4 3 2+	- ) *	(，
(	5 4 3 2+*	-	(，
+	5 4 3 2+*	-+	+，优先级大于等于栈顶运算符，直接入栈
1	5 4 3 2+*1	-+	1，是数字串直接输出
空	5 4 3 2+*1+-	空	扫描结束，将栈内剩余运算符全部出栈并输出
空	- + 1 * + 2 3 4 5	空	逆缀输出字符串

【2】中缀表达式转换为后缀表达式

 

过程和【1】差不多，只不过是从左往右扫描，方向换了一个，其他一样。

还是这个式子：1+((2+3)*4)-5

 

中缀表达式	后缀表达式	（栈顶）运算符栈（栈尾）	说明
1	1	空	1，是数字串直接输出
+	1	+	+，栈内无运算符，直接入栈
（	1	+（	（，直接入栈
（	1	+（（	（，直接入栈
2	1 2	+（（	2 ，数字
+	1 2	+（（+	+，直接入栈
3	1 2 3	+（（+	3，是数字串直接输出
）	1 2 3 +	+（	碰到 ）找到（之前所有符号弹出出
*	1 2 3 +	+（*	*
4	1 2 3 + 4	+（*	4
）	1 2 3 + 4 *	+	碰到 ）找到（之前所有符号弹出出
-	1 2 3 + 4 *	+ -	-
5	1 2 3 + 4 *5	+ -	5
空	1 2 3 + 4 *5 - +	空	扫描结束
空	1 2 3 + 4 *5 - +	空	逆缀输出字符串

 

后缀表达式逆向求解中缀表达式

1 2 3 + 4 *5 - +

基本思路和上面的一样：递归，碰到操作符就进入递归。

从左往右扫描先碰到+号，取+号前面两个操作数：2，3 得到：2+3.

继续往下扫碰到*号，取4 和2+3 得到：（2+3）*4

-号，取（2+3）*4和5得到：：（2+3）*4-5

+号：取（2+3）*4-5和1得到：：1+（2+3）*4-5