[USACO18DEC]Balance Beam

Posted 2022-02-10 miracevin

[USACO18DEC]Balance Beam 

bk讲过的题还是不会

众所周知，期望经常会出现f[i]=a*f[i-1]+b*f[i+1]这样

可以高斯消元、设主元、k*x+b这种搞一搞。

但是，本题显然是：f[i]=max(w[i],a*f[i-1]+b*f[i+1])这种形式。

max很讨厌。

这种期望式子，还是要从实际意义或者某个定值入手。

 

本题

首先，长度为L，在i位置，走到0的概率是(L-i)/L，走到L的概率是i/L，可以用f[i]=(f[i+1]+f[i-1])/2得到

然后考虑这个题我们在决策什么？

显然走到一个位置，如果直接停止收益更大，肯定直接停止。称为关键点

所以一个位置i，会走到左边第一个关键点a或者右边第一个关键点b，然后停止。

期望是：w[a]*(b-i)/(b-a)+w[b]*(i-a)/(b-a)

 

所以只要找关键点。

发现，那个期望的式子有点斜率的意思。

实际上，

i不是关键点，当且仅当存在a，b使得不等式：w[a]*(b-i)/(b-a)+w[b]*(i-a)/(b-a)>w[i]成立

经过一系列化简，可以得到a+(w[b]-w[a])/(b-a)*(i-a)>w[i]

不就是凸壳吗？a，b是凸壳上的相邻点，i是a，b中间的点。

所以，(i,w[i])的凸壳上的点就是关键点

 

细节：

卡精度？计算答案都乘上1e5，最后除以(b-a)完全不用double

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define fi first
#define se second
#define mk(a,b) make_pair(a,b)
#define numb (ch^‘0‘)
#define pb push_back
#define solid const auto &
#define enter cout<<endl
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<class T>il void rd(T &x)
    char ch;x=0;bool fl=false;while(!isdigit(ch=getchar()))(ch==‘-‘)&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);(fl==true)&&(x=-x);
template<class T>il void output(T x)if(x/10)output(x/10);putchar(x%10+‘0‘);
template<class T>il void ot(T x)if(x<0) putchar(‘-‘),x=-x;output(x);putchar(‘ ‘);
template<class T>il void prt(T a[],int st,int nd)for(reg i=st;i<=nd;++i) ot(a[i]);putchar(‘\n‘);
namespace Modulo
const int mod=998244353;
int ad(int x,int y)return (x+y)>=mod?x+y-mod:x+y;
void inc(int &x,int y)x=ad(x,y);
int mul(int x,int y)return (ll)x*y%mod;
void inc2(int &x,int y)x=mul(x,y);
int qm(int x,int y=mod-2)int ret=1;while(y)if(y&1) ret=mul(x,ret);x=mul(x,x);y>>=1;return ret;

//using namespace Modulo;
#define int long long
namespace Miracle
const int N=1e5+5;
const int P=1e5;
int n;
int w[N];
struct po
    int x,y;
    po()
    po(int xx,int yy)
        x=xx;y=yy;
    
    po friend operator -(po a,po b)
        return po(a.x-b.x,a.y-b.y);
    
    long double friend operator *(po a,po b)
        return (ll)a.x*b.y-(ll)a.y*b.x;
    
;
int sta[N],top;
int le[N],ri[N],is[N];
int main()
    rd(n);
    for(reg i=1;i<=n;++i) rd(w[i]);
    for(reg i=0;i<=n+1;++i)
        po now=po(i,w[i]);
        while(top>1&&(now-po(sta[top],w[sta[top]]))*(now-po(sta[top-1],w[sta[top-1]]))<0) --top;
        sta[++top]=i;
    
    while(top) is[sta[top--]]=1;
    for(reg i=0;i<=n+1;++i)
        if(is[i]) le[i]=i;
        else le[i]=le[i-1];
    
    for(reg i=n+1;i>=0;--i)
        if(is[i]) ri[i]=i;
        else ri[i]=ri[i+1];
    
    for(reg i=1;i<=n;++i)
        if(is[i]) printf("%lld\n",(ll)w[i]*P);
        else 
            int len=(ri[i]-le[i]);
            ll ans=(P*(w[ri[i]]*(i-le[i])+w[le[i]]*(ri[i]-i)))/len;
            printf("%lld\n",ans);
        
    
    return 0;



signed main()
    Miracle::main();
    return 0;


/*
   Author: *Miracle*
*/