多项式求ln,求exp,开方,快速幂 学习总结
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了多项式求ln,求exp,开方,快速幂 学习总结相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
按理说Po姐姐三月份来讲课的时候我就应该学了
但是当时觉得比较难加上自己比较懒,所以就QAQ了
现在不得不重新弄一遍了
首先说多项式求ln
设G(x)=lnF(x)
我们两边求导可以得到G‘(x)=F‘(x)/F(x)
则G(x)就是F’(x)/F(x)的积分
我们知道多项式求导和积分是O(n)的,多项式求逆是O(nlogn)的
所以总时间复杂度O(nlogn)
多项式求ln一般解决的问题是这样的
设多项式f表示一些奇怪的东西,由一些奇怪的东西有序组成的方案为
f^1+f^2+f^3…… 化简之后得到多项式求逆的式子
而由这些奇怪的东西无序组成的方案为
f^1/1!+f^2/2!……
由泰勒展开我们知道化简后为e^f
则若我们知道e^f,求f就需要多项式求ln了
这样推导非常的优美
譬如说BZOJ 3456 城市规划
设答案为多项式f,设n个点的无向图个数为多项式g
不难发现无向图是由若干个无序联通块组成的
我们得到式子g=e^f
而多项式g是非常好构造的,f=ln(g)
多项式求ln即可
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<algorithm> #define G 3 using namespace std; typedef long long LL; const int maxn=300010; const int mod=1004535809; int n,N,len,rev[maxn]; int jc[maxn],inv[maxn]; int g[maxn],f[maxn],w[maxn]; int pow_mod(int v,int p){ int tmp=1; while(p){ if(p&1)tmp=1LL*tmp*v%mod; v=1LL*v*v%mod;p>>=1; }return tmp; } void FFT(int *A,int n,int flag){ for(int i=0;i<n;++i)if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]); for(int k=2;k<=n;k<<=1){ int mk=(k>>1); int wn=pow_mod(G,flag==1?(mod-1)/k:(mod-1)-(mod-1)/k); w[0]=1; for(int i=1;i<mk;++i)w[i]=1LL*w[i-1]*wn%mod; for(int i=0;i<n;i+=k){ for(int j=0;j<mk;++j){ int a=i+j,b=i+j+mk; int x=A[a],y=1LL*A[b]*w[j]%mod; A[a]=(x+y)%mod; A[b]=x-y;if(A[b]<0)A[b]+=mod; } } } if(flag==-1){ int c=pow_mod(n,mod-2); for(int i=0;i<n;++i)A[i]=1LL*A[i]*c%mod; } } void Get_inv(int n){ if(n==1){ f[0]=pow_mod(g[0],mod-2); return; } Get_inv(n>>1); int now=(n<<1); for(len=0;(1<<len)<now;++len); for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1)); static int tmp[maxn]; for(int i=0;i<n;++i)tmp[i]=g[i]; FFT(tmp,now,1);FFT(f,now,1); for(int i=0;i<now;++i)f[i]=1LL*f[i]*(2LL-1LL*f[i]*tmp[i]%mod+mod)%mod; FFT(f,now,-1); memset(f+n,0,sizeof(int)*n); } void Get_Dao(){ g[N]=0; for(int i=0;i<N;++i)g[i]=1LL*g[i+1]*(i+1)%mod; } void Get_Fen(){ f[0]=0; for(int i=N-1;i>=0;--i)f[i]=1LL*f[i-1]*pow_mod(i,mod-2)%mod; } int main(){ scanf("%d",&n); for(N=1;N<=n;N<<=1); jc[0]=1; for(int i=1;i<N;++i)jc[i]=1LL*jc[i-1]*i%mod; inv[N-1]=pow_mod(jc[N-1],mod-2); for(int i=N-2;i>=0;--i)inv[i]=1LL*inv[i+1]*(i+1)%mod; for(int i=0;i<N;++i){ int tmp=(1LL*i*(i-1)/2)%(mod-1); g[i]=1LL*pow_mod(2,tmp)*inv[i]%mod; } Get_inv(N);Get_Dao();N<<=1; for(len=0;(1<<len)<N;++len); for(int i=0;i<N;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1)); FFT(g,N,1);FFT(f,N,1); for(int i=0;i<N;++i)f[i]=1LL*f[i]*g[i]%mod; FFT(f,N,-1);Get_Fen(); printf("%d\n",1LL*f[n]*jc[n]%mod); return 0; }
cojs 2358
首先用多项式求逆可以搞出n个点的DAG的个数,这个不再多说
我们不难发现n个点的DAG是由若干个DAG的弱连通图无序组成的
多项式求ln即可
#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<cstdlib> #include<algorithm> #define G 3 using namespace std; const int maxn=300010; const int mod=998244353; int n,N,len,w[maxn]; int jc[maxn],inv[maxn],rev[maxn]; int f[maxn],Inv[maxn],ln[maxn]; int pow_mod(int v,int p){ int tmp=1; while(p){ if(p&1)tmp=1LL*tmp*v%mod; v=1LL*v*v%mod;p>>=1; }return tmp; } void FFT(int *A,int n,int flag){ for(int i=0;i<n;++i)if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]); for(int k=2;k<=n;k<<=1){ int mk=(k>>1); int wn=pow_mod(G,flag==1?(mod-1)/k:(mod-1)-(mod-1)/k); w[0]=1; for(int i=1;i<mk;++i)w[i]=1LL*w[i-1]*wn%mod; for(int i=0;i<n;i+=k){ for(int j=0;j<mk;++j){ int a=i+j,b=i+j+mk; int x=A[a],y=1LL*A[b]*w[j]%mod; A[a]=(x+y)%mod; A[b]=x-y;if(A[b]<0)A[b]+=mod; } } } if(flag==-1){ int c=pow_mod(n,mod-2); for(int i=0;i<n;++i)A[i]=1LL*A[i]*c%mod; }return; } void Get_dao(int n){ f[n]=0; for(int i=0;i<n;++i)f[i]=1LL*f[i+1]*(i+1)%mod; } void Get_Fen(int n){ for(int i=n-1;i>=1;--i)ln[i]=1LL*ln[i-1]*pow_mod(i,mod-2)%mod; ln[0]=0; } void Get_inv(int n){ if(n==1){ Inv[0]=pow_mod(f[0],mod-2); return; } Get_inv(n>>1); int now=(n<<1); for(len=0;(1<<len)<now;++len); for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1)); static int tmp[maxn]; for(int i=0;i<n;++i)tmp[i]=f[i]; for(int i=n;i<now;++i)tmp[i]=0; FFT(Inv,now,1);FFT(tmp,now,1); for(int i=0;i<now;++i)Inv[i]=1LL*Inv[i]*(2LL-1LL*Inv[i]*tmp[i]%mod+mod)%mod; FFT(Inv,now,-1); memset(Inv+n,0,sizeof(int)*n); } void Get_ln(int n){ int now=(n<<1); for(int i=0;i<n;++i)Inv[i]=0; Get_inv(n);Get_dao(n); for(len=0;(1<<len)<now;++len); for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1)); FFT(Inv,now,1);FFT(f,now,1); for(int i=0;i<now;++i)ln[i]=1LL*Inv[i]*f[i]%mod; FFT(ln,now,-1); memset(ln+n,0,sizeof(int)*n); Get_Fen(n); } int main(){ freopen("dagIV.in","r",stdin); freopen("dagIV.out","w",stdout); scanf("%d",&n); for(N=1;N<=n;N<<=1); jc[0]=1; for(int i=1;i<N;++i)jc[i]=1LL*jc[i-1]*i%mod; inv[N-1]=pow_mod(jc[N-1],mod-2); for(int i=N-2;i>=0;--i)inv[i]=1LL*inv[i+1]*(i+1)%mod; for(int i=0;i<N;++i){ int tmp=(1LL*i*(i-1)/2)%(mod-1); f[i]=1LL*pow_mod((mod+1)>>1,tmp)*inv[i]%mod; if(i&1)f[i]=mod-f[i]; }Get_inv(N); for(int i=0;i<=n;++i){ int tmp=(1LL*i*(i-1)/2)%(mod-1); f[i]=1LL*Inv[i]*pow_mod(2,tmp)%mod*jc[i]%mod; f[i]=1LL*f[i]*inv[i]%mod; } for(int i=n+1;i<N;++i)f[i]=0; Get_ln(N); printf("%d\n",1LL*ln[n]*jc[n]%mod); return 0; }
多项式求exp
用处其实跟多项式求ln是相反的
对于式子g=e^f,假设我们知道f,求g就需要用到多项式求exp了
多项式求exp的方式是利用牛顿迭代法倍增
设F(x)=e^A(x)
我们知道若G(F0(x))=0(mod x^n)
我们有G(F(x))=0=G(F0(x))/0!+G‘(F0(x))/1!*(F(x)-F0(x))(mod x^2n)
转换一下式子我们可以得到F(x)的表达式
我们又知道G(F(x))=lnF(x)-A(x)
带入上面的式子整理之后我们得到F(x)=F0(x)*(1-lnF0(x)+A(x))
无脑倍增就可以了,每次倍增的时候求ln即可,常数巨大,但还是O(nlogn)的
本来应该出到cojs的题目QAQ但是因为自己的权限掉了QAQ
求前n项的Bell数
在之前的文章里提到了Bell数可以利用CDQ+FFT解决
但是我们也提到了Bell数的生成函数e^(e^x-1)
我们对e^x-1做泰勒展开,之后多项式求exp即可
#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<cstdlib> #include<algorithm> #define G 3 using namespace std; const int mod=998244353; const int maxn=300010; int n,N,len,T; int jc[maxn],inv[maxn],rev[maxn],w[maxn]; int g[maxn],f[maxn],h[maxn],ni[maxn]; int Exp[maxn],ln[maxn],Inv[maxn]; int C[maxn]; struct ASK{ int n; }Q[maxn]; int pow_mod(int v,int p){ int tmp=1; while(p){ if(p&1)tmp=1LL*tmp*v%mod; v=1LL*v*v%mod;p>>=1; }return tmp; } void FFT(int *A,int n,int flag){ for(int i=0;i<n;++i)if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]); for(int k=2;k<=n;k<<=1){ int mk=(k>>1); int wn=pow_mod(G,flag==1?(mod-1)/k:(mod-1)-(mod-1)/k); w[0]=1; for(int i=1;i<mk;++i)w[i]=1LL*w[i-1]*wn%mod; for(int i=0;i<n;i+=k){ for(int j=0;j<mk;++j){ int a=i+j,b=i+j+mk; int x=A[a],y=1LL*A[b]*w[j]%mod; A[a]=(x+y)%mod; A[b]=x-y;if(A[b]<0)A[b]+=mod; } } } if(flag==-1){ int c=pow_mod(n,mod-2); for(int i=0;i<n;++i)A[i]=1LL*A[i]*c%mod; }return; } void Get_dao(int n){ f[n]=0; for(int i=0;i<n;++i)f[i]=1LL*f[i+1]*(i+1)%mod; } void Get_Fen(int n){ for(int i=n-1;i>=1;--i)ln[i]=1LL*ln[i-1]*ni[i]%mod; ln[0]=0; } void Get_inv(int n){ if(n==1){ Inv[0]=pow_mod(f[0],mod-2); return; } Get_inv(n>>1); int now=(n<<1); for(len=0;(1<<len)<now;++len); for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1)); static int tmp[maxn]; for(int i=0;i<n;++i)tmp[i]=f[i]; for(int i=n;i<now;++i)tmp[i]=0; FFT(tmp,now,1);FFT(Inv,now,1); for(int i=0;i<now;++i)Inv[i]=1LL*Inv[i]*(2LL-1LL*tmp[i]*Inv[i]%mod+mod)%mod; FFT(Inv,now,-1); memset(Inv+n,0,sizeof(int)*n); } void Get_ln(int n){ int now=(n<<1); for(int i=0;i<n;++i)Inv[i]=0; Get_inv(n);Get_dao(n); for(len=0;(1<<len)<now;++len); for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1)); FFT(Inv,now,1);FFT(f,now,1); for(int i=0;i<now;++i)ln[i]=1LL*f[i]*Inv[i]%mod; FFT(ln,now,-1); memset(ln+n,0,sizeof(int)*n); Get_Fen(n); } void Get_exp(int n){ if(n==1){Exp[0]=1;return;} Get_exp(n>>1); int now=(n<<1); for(int i=0;i<n;++i)f[i]=Exp[i],h[i]=g[i]; Get_ln(n); for(int i=0;i<now;++i)ln[i]=((i==0)-ln[i]+h[i]+mod)%mod; for(len=0;(1<<len)<now;++len); for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1)); FFT(Exp,now,1);FFT(ln,now,1); for(int i=0;i<now;++i)Exp[i]=1LL*Exp[i]*ln[i]%mod; FFT(Exp,now,-1); memset(Exp+n,0,sizeof(int)*n); } int main(){ freopen("QAQ_Bell.in","r",stdin); freopen("QAQ_Bell.ans","w",stdout); scanf("%d",&T); for(int i=1;i<=T;++i){ scanf("%d",&Q[i].n); n=max(n,Q[i].n); } for(N=1;N<=n;N<<=1); jc[0]=1;ni[0]=ni[1]=1; for(int i=1;i<N;++i)jc[i]=1LL*jc[i-1]*i%mod; inv[N-1]=pow_mod(jc[N-1],mod-2); for(int i=N-2;i>=0;--i)inv[i]=1LL*inv[i+1]*(i+1)%mod; for(int i=2;i<N;++i)ni[i]=(mod-1LL*(mod/i)*ni[mod%i]%mod); for(int i=1;i<N;++i)g[i]=inv[i]; Get_exp(N); for(int i=1;i<=T;++i){ n=Q[i].n; printf("%d\n",1LL*Exp[n]*jc[n]%mod); } return 0; }
多项式开根
同样是利用倍增
设G^2(x)=F(x)(mod x^n)
我们得到(G^2(x)-F(x))^2=0(mod x^2n)
又可以得到(G^2(x)+F(x))^2=4*G^2(x)*F(x)(mod x^2n)
即((G^2(x)+F(x))/2*G(x))^2=F(x)(mod x^2n)
显然括号里面的东西是我们要求的东西,求解即可
注意到多项式开根的前提是常数项可开根,但如果在模意义下并不要求常数项是完全平方数
只要常数项存在二次剩余就可以了,至于求解的话可以利用原根的性质求解
BZOJ 3625
我们设答案多项式为F(x)
我们得到生成函数F(x)=C(x)F^2(x)+1
得到C(x)F^2(x)-F(x)+1=0
F(x)=(1 +or- sqrt(1-4C(x))/2C(x))=2/(1 +or- sqrt(1-4C(x)))
由于多项式求逆要求常数项存在逆,所以可以确定是加号
之后做多项式开根之后多项式求逆即可
#include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdlib> #include<cstring> #define G 3 using namespace std; const int maxn=300010; const int mod=998244353; int n,m,x,N,len,C; int f[maxn],rt[maxn],Inv[maxn],rev[maxn]; int w[maxn]; void read(int &num){ num=0;char ch=getchar(); while(ch<‘!‘)ch=getchar(); while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)num=num*10+ch-‘0‘,ch=getchar(); } int pow_mod(int v,int p){ int tmp=1; while(p){ if(p&1)tmp=1LL*tmp*v%mod; v=1LL*v*v%mod;p>>=1; }return tmp; } void FFT(int *A,int n,int flag){ for(int i=0;i<n;++i)if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]); for(int k=2;k<=n;k<<=1){ int mk=(k>>1); int wn=pow_mod(G,flag==1?(mod-1)/k:(mod-1)-(mod-1)/k); w[0]=1; for(int i=1;i<mk;++i)w[i]=1LL*w[i-1]*wn%mod; for(int i=0;i<n;i+=k){ for(int j=0;j<mk;++j){ int a=i+j,b=i+j+mk; int x=A[a],y=1LL*A[b]*w[j]%mod; A[a]=(x+y)%mod; A[b]=x-y;if(A[b]<0)A[b]+=mod; } } } if(flag==-1){ int c=pow_mod(n,mod-2); for(int i=0;i<n;++i)A[i]=1LL*A[i]*c%mod; }return; } void Get_inv(int n){ if(n==1){ Inv[0]=pow_mod(rt[0],mod-2); return; } Get_inv(n>>1); int now=(n<<1); for(len=0;(1<<len)<now;++len); for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1)); static int tmp[maxn]; for(int i=0;i<n;++i)tmp[i]=rt[i]; for(int i=n;i<now;++i)tmp[i]=0; FFT(tmp,now,1);FFT(Inv,now,1); for(int i=0;i<now;++i)Inv[i]=1LL*Inv[i]*(2LL-1LL*tmp[i]*Inv[i]%mod+mod)%mod; FFT(Inv,now,-1); memset(Inv+n,0,sizeof(int)*n); } void Get_root(int n){ if(n==1){rt[0]=1;return;} Get_root(n>>1); for(int i=0;i<n;++i)Inv[i]=0; int now=(n<<1);Get_inv(n); static int tmp[maxn]; for(int i=0;i<n;++i)tmp[i]=f[i]; for(len=0;(1<<len)<now;++len); for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1)); FFT(Inv,now,1);FFT(tmp,now,1); for(int i=0;i<now;++i)tmp[i]=1LL*tmp[i]*Inv[i]%mod; FFT(tmp,now,-1); for(int i=0;i<n;++i)rt[i]=1LL*C*(rt[i]+tmp[i])%mod; } int main(){ read(n);read(m);C=((mod+1)>>1); for(N=1;N<=m;N<<=1); for(int i=1;i<=n;++i){ read(x); if(x<=m)f[x]++; } for(int i=0;i<N;++i)f[i]=((i==0)-4*f[i]+mod)%mod; Get_root(N);rt[0]++; for(int i=0;i<(N<<1);++i)Inv[i]=0; Get_inv(N); for(int i=1;i<=m;++i){ printf("%d\n",(Inv[i]<<1)%mod); }return 0; }
多项式快速幂
即求F^k(x)
我们可以直接做快速幂每次乘完消掉次数界既可以了
但是这样的做法不够高大上
我们知道F^k(x)=exp(ln(F^k(x))
而ln(F^k(x))=k*ln(F(x))
我们做多项式求ln,然后系数乘以k之后exp还原即可
时间复杂度O(nlogn)
多项式的学习估计就到此结束啦,以后可能会学一些用FFT优化DP,用FFT优化字符串匹配的题目
当然也会写总结啦
听说多项式还有什么多点插值,扩展欧几里得,拉格朗日反演之类的鬼东西
先暂时弃掉咯
最后附上多项式终极模板,也是zcg他们出的毒瘤题目
cojs 2189 帕秋莉的超级多项式
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<cmath> #define G 3 using namespace std; const int maxn=300010; const int mod=998244353; int n,k,N,C,len; int rev[maxn],w[maxn]; int f[maxn],rt[maxn]; int Inv[maxn],ln[maxn],Exp[maxn]; int pow_mod(int v,int p){ int tmp=1; while(p){ if(p&1)tmp=1LL*tmp*v%mod; v=1LL*v*v%mod;p>>=1; }return tmp; } void FFT(int *A,int n,int flag){ for(int i=0;i<n;++i)if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]); for(int k=2;k<=n;k<<=1){ int mk=(k>>1); int wn=pow_mod(G,flag==1?(mod-1)/k:(mod-1)-(mod-1)/k); w[0]=1; for(int i=1;i<mk;++i)w[i]=1LL*w[i-1]*wn%mod; for(int i=0;i<n;i+=k){ for(int j=0;j<mk;++j){ int a=i+j,b=i+j+mk; int x=A[a],y=1LL*A[b]*w[j]%mod; A[a]=(x+y)%mod; A[b]=x-y;if(A[b]<0)A[b]+=mod; } } } if(flag==-1){ int c=pow_mod(n,mod-2); for(int i=0;i<n;++i)A[i]=1LL*A[i]*c%mod; }return; } void Get_Fen(int *f,int n){ for(int i=n-1;i>=1;--i)f[i]=1LL*f[i-1]*pow_mod(i,mod-2)%mod; f[0]=0; } void Get_dao(int *f,int n){ f[n]=0; for(int i=0;i<n;++i)f[i]=1LL*f[i+1]*(i+1)%mod; } void Get_inv(int n,int *h){ if(n==1){ Inv[0]=pow_mod(h[0],mod-2); return; } Get_inv(n>>1,h); int now=(n<<1); static int tmp[maxn]; for(int i=0;i<n;++i)tmp[i]=h[i]; for(int i=n;i<now;++i)tmp[i]=0; for(len=0;(1<<len)<now;++len); for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1)); FFT(tmp,now,1);FFT(Inv,now,1); for(int i=0;i<now;++i)Inv[i]=1LL*Inv[i]*(2LL-1LL*tmp[i]*Inv[i]%mod+mod)%mod; FFT(Inv,now,-1); memset(Inv+n,0,sizeof(int)*n); } void Get_root(int n){ if(n==1){ rt[0]=(int)(sqrt(f[0])); return; } Get_root(n>>1); int now=(n<<1); for(int i=0;i<now;++i)Inv[i]=0; Get_inv(n,rt); static int tmp[maxn]; for(int i=0;i<n;++i)tmp[i]=f[i]; for(int i=n;i<now;++i)tmp[i]=0; for(len=0;(1<<len)<now;++len); for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1)); FFT(tmp,now,1);FFT(Inv,now,1); for(int i=0;i<now;++i)tmp[i]=1LL*tmp[i]*Inv[i]%mod; FFT(tmp,now,-1); for(int i=0;i<n;++i)rt[i]=1LL*C*(rt[i]+tmp[i])%mod; } void Get_ln(int n,int *h){ int now=(n<<1); for(int i=0;i<now;++i)Inv[i]=0; Get_inv(n,h);Get_dao(h,n); for(len=0;(1<<len)<now;++len); for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1)); FFT(h,now,1);FFT(Inv,now,1); for(int i=0;i<now;++i)ln[i]=1LL*h[i]*Inv[i]%mod; FFT(ln,now,-1); memset(ln+n,0,sizeof(int)*n); Get_Fen(ln,n); } void Get_Exp(int n){ if(n==1){Exp[0]=1;return;} Get_Exp(n>>1); int now=(n<<1); static int g[maxn]; for(int i=0;i<n;++i)g[i]=Exp[i]; for(int i=n;i<now;++i)g[i]=0; Get_ln(n,g); for(int i=0;i<n;++i)ln[i]=((i==0)-ln[i]+f[i]+mod)%mod; for(len=0;(1<<len)<now;++len); for(int i=0;i<now;++i)rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)<<(len-1)); FFT(ln,now,1);FFT(Exp,now,1); for(int i=0;i<now;++i)Exp[i]=1LL*Exp[i]*ln[i]%mod; FFT(Exp,now,-1); memset(Exp+n,0,sizeof(int)*n); } int main(){ freopen("polynomial.in","r",stdin); freopen("polynomial.out","w",stdout); scanf("%d",&n);scanf("%d",&k);C=((mod+1)>>1); for(int i=0;i<n;++i)scanf("%d",&f[i]); for(N=1;N<=n;N<<=1); Get_root(N); for(int i=0;i<(N<<1);++i)Inv[i]=0; Get_inv(N,rt); for(int i=0;i<N;++i)f[i]=Inv[i]; Get_Fen(f,n); for(int i=n;i<N;++i)f[i]=0; Get_Exp(N); for(int i=0;i<N;++i)f[i]=Exp[i]; for(int i=0;i<(N<<1);++i)Inv[i]=0; Get_inv(N,f); for(int i=0;i<N;++i)f[i]=Inv[i]; f[0]++; Get_ln(N,f); for(int i=0;i<N;++i)f[i]=ln[i]; f[0]++; for(int i=N+1;i<(N<<1);++i)f[i]=0; Get_ln(N,f); for(int i=0;i<N;++i)f[i]=1LL*k*ln[i]%mod; for(int i=0;i<(N<<1);++i)Exp[i]=0; Get_Exp(N); for(int i=1;i<n;++i)printf("%d ",1LL*Exp[i]*i%mod); printf("0\n"); return 0; }
感觉生成函数什么的还是很好玩的,非常想找时间学一学
不过貌似NOI用处不大(雾
以上是关于多项式求ln,求exp,开方,快速幂 学习总结的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
多项式FFT/NTT模板(含乘法/逆元/log/exp/求导/积分/快速幂)