残缺棋盘的覆盖问题

Posted 2022-02-07 yichenxing

残缺棋盘的覆盖问题

问题描述：

　　在一个有2^N ×2^N个方格组成的棋盘中，有一个方格残缺（残缺方格位置随机），要求用如下①~④的三格板完全覆盖棋盘中为残缺的方格。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　①　　　　　　　　　　　　②　　　　　　　　　　　　③　　　　　　　　　　　　④

 

例如：

　　下面是一个4×4的棋盘，其中黑色的方格代表残缺的方格。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　使用三格板覆盖后如下图，其中相同的数字表示同一块三格板。　　　　　　　　　　　　　　　

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

 

 分析：　

　1×1　　　　　　 　　2×2　　　　　　　　　　　　　     　4×4　　　　　　　　　　　　　　　　     　8×8

 

 　　当棋盘大小为1×1时，棋盘残缺，不需要三格板覆盖；当棋盘大小为2×2时，有一个方格残缺，用一个三格板正好能完全覆盖；当棋盘越来越大时，覆盖棋盘的方式便较难确定。但是棋盘较小时，问题就比较容易解决了，所以可以采用分治法来解决。

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　上图是一个4×4的残缺棋盘，我们可以将这个4×4的棋盘分成4个2×2的棋盘， 其中有一个2×2的棋盘存在残缺方格，剩下三个则没有残缺方格。但是只有当棋盘中存在一个残缺方格是，棋盘才能用三格板完全覆盖，所以我们可以为那三个没有残缺方格的棋盘加一个残缺方格，残缺方格不能随便加，下图中灰色的方块便是加的残缺方块，加的三个残缺方块必要能组成一个三格板才行。

 

　　                        

 

 

 代码：

 

 

#include <iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;

const int MAXSIZE = 100;
int tile = 1;
int board[MAXSIZE][MAXSIZE];

void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)

    if(size == 1)
        return;
    int t = tile++;
    int s = size / 2;
    //覆盖左上角棋盘
    if(dr < tr + s && dc < tc + s)
    //残缺方格在左上角
        chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);
    
    else
    //此部分无残缺方格，将右下角方格当成残缺方格
        board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;
        chessBoard(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s);
    

    //覆盖右上角棋盘
    if (dr < tr + s && dc >= tc + s)
    //残缺方格在右上角
        chessBoard(tr, tc + s, dr, dc, s);
    
    else
    //此部分无残缺方格，将左下角方格当成残缺方格
        board[tr + s -1][tc + s] = t;
        chessBoard(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s);
    

    //覆盖左下角棋盘
    if (dr >= tr + s && dc < tc + s)
    //残缺方格在左下角
        chessBoard(tr + s, tc, dr, dc, s);
    
    else
    //此部分无残缺方格，将右上角方格当成残缺方格
        board[tr + s][tc + s - 1] = t;
        chessBoard(tr + s, tc, tr + s, tc + s -1, s);
    

    //覆盖右下角棋盘
    if (dr >= tr + s && dc >= tc + s)
    //残缺方格在右下角
        chessBoard(tr + s, tc + s, dr, dc, s);
    
    else
    //此部分无残缺方格，将左上角方格当成残缺方格
        board[tr + s][tc + s] = t;
        chessBoard(tr + s, tc + s, tr +s, tc + s, s);
    

int main()

    int size;
    cin>>size;
    int dr, dc;
    cin >> dr >> dc;
    chessBoard(0, 0, dr, dc, size);
    for (int i = 0; i < size; i++)
    
        for (int j = 0; j < size; j++)
            cout << setw(5) << setiosflags(ios::left) << board[i][j];
        cout << endl;
    
    return 0;

 

 输入：

8

1 1

输出：

3    3    4    4    8    8    9    9
3    0    2    4    8    7    7    9
5    2    2    6   10 10    7   11
5    5    6    6    1  10   11   11
13 13  14   1    1  18   19   19
13 12  14  14  18 18   17   19
15 12  12  16   20 17  17    21
15 15  16  16   20 20   21   21