JZOJ621720190614最大面积

Posted 2022-02-06 paul-guderian

题意

平面上有\(n\)个点\(A_i\)，\(q\)次询问，每次给出一个点\(P\)，求：
\[ \sum_i=L^R 2S_\triangle OPA_i \]
最大值，其中$S_\triangle_ABC ?= ?\frac\vecAB\times\vecAC 2 $为三角形的有向面积

$1 \le n \le 10^5 ?, ?1 \le q \le 10^6 $

题解

• 求出\(n^2\)个区间点和，求出他们构成的凸包

• 对于一个询问向量\((A,B)\)，最优的点就是\((-A,-B)\)卡住的点(此时整个凸包在它左手边)

• 对于所有询问可以旋转卡壳\(O(q+n)\)完成

• 考虑如何求\(n^2\)个区间点和构成的凸包

• 对区间分治：考虑区间\([l,r]\) : 从\(mid\)向左做点后缀和，向右做点前缀和

• 对两边分别求凸包做\(minkowski\)和就得到了跨越\(mid\)区间点和的凸包，分治下去

• 这样得到的候选点的个数是\(n log \ n\)的，最后作一次总凸包

• 时间复杂度\(O(n \log ^2 n + q)\)

  #include<bits/stdc++.h>
  #define il inline 
  #define rg register 
  #define ll long long  
  
  using namespace std;
  const int N=2000010;
  
  int n,m,tot,tp;ll ans[N];
  struct P
    ll x,y,z;
    P(ll _x=0,ll _y=0,ll _z=0):x(_x),y(_y),z(_z);
    P operator +(const P&a)constreturn P(x+a.x,y+a.y);
    P operator -(const P&a)constreturn P(x-a.x,y-a.y);
    bool operator <(const P&a)constreturn x==a.x?y<a.y:x<a.x;
    void rev()x=-x,y=-y;
  p[N],q[N],L[N],R[N],S[N],st[N];
  ll crs(P a,P b)return a.x*b.y-a.y*b.x;
  
  void chkmin(ll&x,ll y)if(x>y)x=y;
  void chkmax(ll&x,ll y)if(x<y)x=y;
  
  char gc()
    static char*p1,*p2,s[1000000];
    if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
    return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  
  int rd()
    int x=0,f=1;char c=gc();
    while(c<'0'||c>'9')if(c=='-')f=-1;c=gc();
    while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0';c=gc();
    return x*f;
  
  char ps[1000000],*pp=ps;
  void flush()fwrite(ps,1,pp-ps,stdout);pp=ps;
  void push(char x)if(pp==ps+1000000)flush();*pp++=x;
  void write(ll x)
    static int sta[20],top;
    if(x<0)push('-'),x=-x;
    if(!x)push('0');push('\n');return;
    while(x)sta[++top]=x%10,x/=10;
    while(top)push(sta[top--]^'0');
    push('\n');
  
  
  void convex(P*A,int&cnt)
    if(cnt==1)A[2]=A[1];return;
    sort(A+1,A+cnt+1);
    st[tp=1]=A[1];
    for(int i=2;i<=cnt;++i)
        while(tp>1 && crs(st[tp]-st[tp-1],A[i]-st[tp])<=0 )tp--;
        st[++tp]=A[i];
    
    int now=tp;
    for(int i=cnt-1;i;--i)
        while(tp>now && crs(st[tp]-st[tp-1],A[i]-st[tp])<=0 )tp--;
        st[++tp]=A[i];
    
    cnt=0;
    for(int i=1;i<=tp;++i)if(!cnt||(st[i].x!=A[cnt].x||st[i].y!=A[cnt].y))A[++cnt]=st[i];
    cnt--;
  
  
  void minkow(P*A,int cnt1,P*B,int cnt2)
    int j=1;
    for(int i=1;i<=cnt1;++i)
        S[++tot]=A[i]+B[j];
        P now=A[i+1]-A[i];
        while(j<=cnt2&&crs(B[j+1]-B[j],now)>=0)S[++tot]=A[i]+B[++j];
    
    while(j<=cnt2)S[++tot]=A[1]+B[j++];
  
  
  void solve(int l,int r)
    if(l==r)S[++tot]=p[l];return;
    int mid=(l+r)>>1,cnt1=0,cnt2=0;
    L[++cnt1]=R[++cnt2]=P(0,0);
    for(int i=mid;i>=l;--i)++cnt1,L[cnt1]=L[cnt1-1]+p[i];
    for(int i=mid+1;i<=r;++i)++cnt2,R[cnt2]=R[cnt2-1]+p[i];
    convex(L,cnt1);convex(R,cnt2);
    minkow(L,cnt1,R,cnt2);
    solve(l,mid);solve(mid+1,r);
  
  
  bool cmp(P a,P b)
    return crs(a,b)>0;
    //return atan2(a.y,a.x)<atan2(b.y,b.x);
  
  void calc()
    sort(q+1,q+m+1,cmp);
    int j=1,hd=1;while(!q[hd].x&&!q[hd].y)++hd;
    //while(tot>1&&crs(q[hd],S[j%tot+1]-S[j])<=0)j=j%tot+1;
    for(int i=1;i<=tot;++i)if(crs(q[hd],S[i]-S[j])<0)j=i;
    for(int i=1;i<=m;++i)
        if(!q[i].x&&!q[i].y)continue;
        while(tot>1&&crs(q[i],S[j%tot+1]-S[j])<=0)j=j%tot+1;
        ans[q[i].z]=-crs(q[i],S[j]);
    
  
  //查询答案的时候注意细节， 存在(0,0).......
  int main()
    freopen("area.in","r",stdin);
    freopen("area.out","w",stdout);
    n=rd(),m=rd();
    for(int i=1;i<=n;++i)p[i].x=rd(),p[i].y=rd();
    int tmp=0;
    for(int i=1;i<=m;++i)
        q[++tmp].x=-rd(),q[tmp].y=-rd(),q[tmp].z=i;
        if(!q[tmp].x&&!q[tmp].y)tmp--;
    
    swap(tmp,m);
    solve(1,n);
    convex(S,tot);
    calc();
    for(int i=1;i<=tmp;++i)write(ans[i]);
    return flush(),0;
  
  //