算法复习_分治算法之二分搜索棋盘覆盖快速排序
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了算法复习_分治算法之二分搜索棋盘覆盖快速排序相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
一、基本概念
分治法，顾名思义，即分而治之的算法，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……
二、基本思想及策略
设计思想：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
策略：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
三、分治法适用的情况
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；
第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、
第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
四、分治法的基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤：
- 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
- 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
- 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
五、（一）分治法之二分搜索
算法概述：二分搜索算法，也称折半查找算法，即在一个有序数组中查找某一个特定元素。整个搜索过程从中间开始，如果要查找的元素即中间元素，那么搜索过程结束；反之根据中间元素与要查找元素的关系在数组对应的那一半查找，例如查找元素大于中间元素，则在整个数组较大元素的那一半查找，反复进行这个过程，直到找到元素，或者数组为空，查找不到元素。
算法思路
给定一个数组
A_0,A_1...A_n-1， A_0 \\le A_1 \\le \\cdot \\le A_n - 1，待查找元素为searchnum：- 用
left，right分别表示左右端点，即要查找的范围； - 用
middle表示中间点，middle = \\lfloor (left + right) / 2 \\rfloor； - 若
left > right，搜索失败； - 若
Amiddle > searchnum，right = middle - 1，返回3； - 若
Amiddle < searchnum，left = middle + 1，返回3； - 若
Amiddle = searchnum，搜索结束，返回middle。
动态演示【low表示左端点，high表示右端点】
代码实现
不使用递归求解
int binarySearch(arrType * a, arrType searchnum, int left, int right) int middle; while (left <= right) middle = (left + right) / 2; if (a[middle] > searchnum) right = middle - 1; else if (a[middle] < searchnum) left = middle + 1; else if (a[middle] == searchnum) return middle; return -1;
使用递归求解
int binarySearch(arrType * a, arrType searchnum, int left, int right) int middle; if (left <= right) middle = (left + right) / 2; if (a[middle] > searchnum) return binarySearch(a, searchnum, left, middle - 1); else if (a[middle] < searchnum) return binarySearch(a, searchnum, middle + 1, right); else if (a[middle] == searchnum) return middle; return -1;
五、（二）分治法之棋盘覆盖
问题描述：在一个2^k×2^k个方格组成的棋盘中,若有一个方格与其他方格不同,则称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一个特殊棋盘.显然特殊方格在棋盘上出现的位置有4^k种情形.因而对任何k≥0,有4^k种不同的特殊棋盘.
下图中的特殊棋盘是当k=3时64个特殊棋盘中的一个：k = 3，棋盘大小8 x 8
在棋盘覆盖问题中，要用下图中 4 中不同形态的** L 型骨牌覆盖一个给定的特殊棋牌上除特殊方格以外的所有方格，且任何 2 个 L 型骨牌不得重叠覆盖**。易知，在任何一个 2^k × 2^k 的棋盘中，用到的 L 型骨牌个数恰为 (4^k-1)/3 。
用分治策略，可以设计解棋盘问题的一个简捷的算法
当 k>0 时，将 2^k * 2^k 棋盘分割为 4 个 2^(k-1) * 2^(k-1) 子棋盘，如下图所示：四个子棋盘
特殊方格必位于 4 个较小子棋盘之一中，其余 3 个子棋盘中无特殊方格。
为了将这 3 个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，我们可以用一个 L 型骨牌覆盖这 3 个较小的棋盘的汇合处，如下图所示，这 3 个子棋盘上被 L 型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格，从而将原问题化为 4 个较小规模的棋盘覆盖问题。
递归的使用这种分割，直至棋盘简化为 1x1 棋盘。
代码实现
（1）棋盘：可以用一个二维数组board[size][size]表示一个棋盘，其中，size=2^k。为了在递归处理的过程中使用同一个棋盘，将数组board设为全局变量；
（2）子棋盘：整个棋盘用二维数组board[size][size]表示，其中的子棋盘由棋盘左上角的下标tr、tc和棋盘大小s表示；
（3）特殊方格：用board[dr][dc]表示特殊方格，dr和dc是该特殊方格在二维数组board中的下标;
（4） L型骨牌：一个2k×2k的棋盘中有一个特殊方格，所以，用到L型骨牌的个数为(4^k-1)/3，将所有L型骨牌从1开始连续编号，用一个全局变量t表示。
（2）子棋盘：整个棋盘用二维数组board[size][size]表示，其中的子棋盘由棋盘左上角的下标tr、tc和棋盘大小s表示；
（3）特殊方格：用board[dr][dc]表示特殊方格，dr和dc是该特殊方格在二维数组board中的下标;
（4） L型骨牌：一个2k×2k的棋盘中有一个特殊方格，所以，用到L型骨牌的个数为(4^k-1)/3，将所有L型骨牌从1开始连续编号，用一个全局变量t表示。
#include <stdio.h> #define BOARD_SIZE 4 int board[BOARD_SIZE][BOARD_SIZE]; // c1, r1: 棋盘左上角的行号和列号 // c2, r2: 特殊方格的行号和列号 // size = 2 ^ k void chessboard(int r1, int c1, int r2, int c2, int size) if(1 == size) return; int half_size; static int domino_num = 1; int d = domino_num++; half_size = size / 2; if(r2 < r1 + half_size && c2 < c1 + half_size) //特殊方格在左上角子棋盘 chessboard(r1, c1, r2, c2, half_size); else // 不在此棋盘，将此棋盘右下角设为相应的骨牌号 board[r1 + half_size - 1][c1 + half_size - 1] = d; chessboard(r1, c1, r1 + half_size - 1, c1 + half_size - 1, half_size); if(r2 < r1 + half_size && c2 >= c1 + half_size) //特殊方格在右上角子棋盘 chessboard(r1, c1 + half_size, r2, c2, half_size); else // 不在此棋盘，将此棋盘左下角设为相应的骨牌号 board[r1 + half_size - 1][c1 + half_size] = d; chessboard(r1, c1 + half_size, r1 + half_size - 1, c1 + half_size, half_size); if(r2 >= r1 + half_size && c2 < c1 + half_size) //特殊方格在左下角子棋盘 chessboard(r1 + half_size, c1, r2, c2, half_size); else // 不在此棋盘，将此棋盘右上角设为相应的骨牌号 board[r1 + half_size][c1 + half_size - 1] = d; chessboard(r1 + half_size, c1, r1 + half_size, c1 + half_size - 1, half_size); if(r2 >= r1 + half_size && c2 >= c1 + half_size) //特殊方格在左上角子棋盘 chessboard(r1 + half_size, c1 + half_size, r2, c2, half_size); else // 不在此棋盘，将此棋盘左上角设为相应的骨牌号 board[r1 + half_size][c1 + half_size] = d; chessboard(r1 + half_size, c1 + half_size, r1 + half_size, c1 + half_size, half_size); int main() int i, j; board[2][2] = 0; chessboard(0, 0, 2, 2, BOARD_SIZE); for(i = 0; i < BOARD_SIZE; i++) for(j = 0; j < BOARD_SIZE; j++) printf("%-4d", board[i][j]); printf("\\n");
#include<iostream> using namespace std; int tile=1; //L型骨牌的编号(递增) int board[100][100]; //棋盘 /***************************************************** * 递归方式实现棋盘覆盖算法 * 输入参数： * tr--当前棋盘左上角的行号 * tc--当前棋盘左上角的列号 * dr--当前特殊方格所在的行号 * dc--当前特殊方格所在的列号 * size：当前棋盘的:2^k *****************************************************/ void chessBoard ( int tr, int tc, int dr, int dc, int size ) if ( size==1 ) //棋盘方格大小为1,说明递归到最里层 return; int t=tile++; //每次递增1 int s=size/2; //棋盘中间的行、列号(相等的) //检查特殊方块是否在左上角子棋盘中 if ( dr<tr+s && dc<tc+s ) //在 chessBoard ( tr, tc, dr, dc, s ); else //不在，将该子棋盘右下角的方块视为特殊方块 board[tr+s-1][tc+s-1]=t; chessBoard ( tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s ); //检查特殊方块是否在右上角子棋盘中 if ( dr<tr+s && dc>=tc+s ) //在 chessBoard ( tr, tc+s, dr, dc, s ); else //不在，将该子棋盘左下角的方块视为特殊方块 board[tr+s-1][tc+s]=t; chessBoard ( tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s ); //检查特殊方块是否在左下角子棋盘中 if ( dr>=tr+s && dc<tc+s ) //在 chessBoard ( tr+s, tc, dr, dc, s ); else //不在，将该子棋盘右上角的方块视为特殊方块 board[tr+s][tc+s-1]=t; chessBoard ( tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s ); //检查特殊方块是否在右下角子棋盘中 if ( dr>=tr+s && dc>=tc+s ) //在 chessBoard ( tr+s, tc+s, dr, dc, s ); else //不在，将该子棋盘左上角的方块视为特殊方块 board[tr+s][tc+s]=t; chessBoard ( tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s ); void main() int size; cout<<"输入棋盘的size(大小必须是2的n次幂): "; cin>>size; int index_x,index_y; cout<<"输入特殊方格位置的坐标: "; cin>>index_x>>index_y; chessBoard ( 0,0,index_x,index_y,size ); for ( int i=0; i<size; i++ ) for ( int j=0; j<size; j++ ) cout<<board[i][j]<<"/t"; cout<<endl;
#include<iostream> #include<vector> #include<stack> using namespace std; vector<vector<int> > board(4);//棋盘数组，也可以作为参数传递进chessBoard中去，作为全局变量可以减少参数传递 stack<int> stI; //记录当前所使用的骨牌号码，使用栈顶元素填充棋盘数组 int sL = 0; //L型骨牌序号 //所有下标皆为0开始的C C++下标 void chessBoard(int uRow, int lCol, int specPosR, int specPosC, int rowSize) if(rowSize ==1) return; //static int sL = 0;棋牌和骨牌都可以用static代替，如果不喜欢用全局变量的话。 sL++; stI.push(sL); //每递归深入一层，就把一个骨牌序号入栈 int halfSize = rowSize/2;//拆分 //注意：下面四个if else，肯定是只有一个if成立，然后执行if句，而肯定有三个else语句要执行的，因为肯定有一个是特殊位置，而其他三个是空白位置，需要填充骨牌。 //1如果特殊位置在左上角区域，则继续递归，直到剩下一个格子，并且该格子已经填充，遇到函数头一句if(rowSize == 1) return;就跳出一层递归。 //注意是一个区域或子棋盘，有一个或者多个格子，并不是就指一个格子。 if(specPosR<uRow+halfSize && specPosC<lCol+halfSize) chessBoard(uRow, lCol, specPosR, specPosC, halfSize); //如果其他情况 else board[uRow+halfSize-1][lCol+halfSize-1] = stI.top(); //因为特殊位置不在，所以可以选择任意一个空格填充，但是本算法只填充左上角（也许不止一个格，也许有很多个格子）区域的右下角。大家仔细查一下，就知道下标[uRow+halfSize-1][lCol+halfSize-1]是本区域中最右下角的一个格子的下标号。 chessBoard(uRow, lCol, uRow+halfSize-1, lCol+halfSize-1, halfSize); //然后是递归填充这个区域的其他空白格子。因为上一句已经填充了[uRow+halfSize-1][lCol+halfSize-1]这个格子，所以，这个下标作为特殊位置参数传递进chessBoard中。 //2右上角区域，解析类上 if(specPosR<uRow+halfSize && specPosC>=lCol+halfSize) chessBoard(uRow, lCol+halfSize, specPosR, specPosC, halfSize); else board[uRow+halfSize-1][lCol+halfSize] = stI.top(); chessBoard(uRow, lCol+halfSize, uRow+halfSize-1, lCol+halfSize, halfSize); //3左下角区域，类上 if(specPosR>=uRow+halfSize && specPosC<lCol+halfSize) chessBoard(uRow+halfSize, lCol, specPosR, specPosC, halfSize); else board[uRow+halfSize][lCol+halfSize-1] = stI.top(); chessBoard(uRow+halfSize, lCol, uRow+halfSize, lCol+halfSize-1, halfSize); //4右下角区域，类上 if(specPosR>=uRow+halfSize && specPosC>=lCol+halfSize) chessBoard(uRow+halfSize, lCol+halfSize, specPosR, specPosC, halfSize); else board[uRow+halfSize][lCol+halfSize] = stI.top(); chessBoard(uRow+halfSize, lCol+halfSize, uRow+halfSize, lCol+halfSize, halfSize); stI.pop();//本次骨牌号填充了三个格，填充完就出栈 void test() //初始化数组 for(int i=0; i<4; i++) board[i].resize(4); chessBoard(0, 0, 3, 3, 4); //特殊位置填充0 board[3][3] = 0; //序列输出 for(int j=0; j<4; j++) for(int i=0; i<4; i++) cout<<board[j][i]<<"\\t"; cout<<endl; cout<<endl; int main() test(); return 0;
五、（三）分治法之快速排序
快速排序（Quicksort），是一种排序算法，最坏情况复杂度：Ο(n2)，最优时间复杂度：Ο(n log n)，平均时间复杂度：Ο(n log n)。快速排序的基本思想也是用了分治法的思想：找出一个元素X，在一趟排序中，使X左边的数都比X小，X右边的数都比X要大。然后再分别对X左边的数组和X右边的数组进行排序，直到数组不能分割为止。
算法思想
1.设置一个长度为n的数组A,定义两个变量i = 0,j = n - 1;
2.从数组中挑选出一个元素作为基准元素，复制给key；
3.从j开始从后向前搜索，j--,找到比key小的值，将A[j]与A[i]互换；
4.从i 开始向后搜索，i++,找到比key大的值，将A[i]与A[j]互换；
5.递归的，重复2，3，4步，直到i == j ;
2.从数组中挑选出一个元素作为基准元素，复制给key；
3.从j开始从后向前搜索，j--,找到比key小的值，将A[j]与A[i]互换；
4.从i 开始向后搜索，i++,找到比key大的值，将A[i]与A[j]互换；
5.递归的，重复2，3，4步，直到i == j ;
举例：
- 存在一个数组A：6 2 7 3 8 9 ,创建i = 0 ; j = 5,选择一个基准元素 k = 6
- j 从右向左查找比k小的元素，发现，当 j = 3 时，发现元素3比k小，则另A[i] 与 A[j]交换，得到3 2 7 6 8 9;
- i 从左向右进行查找，当 i = 2时，发现元素 7 比k大，则另A[i] 与A[j]进行交换，得到 3 2 6 7 8 9;
- 接着，再减小j，重复上面的循环。
- 但是我们发现，在本例中，一次循环后j与i就相等了，他们的下标同时指向了2.这时候，我们就进行分组，将3 2分为一组，7 8 9分为一组继续上述的比较，最终得到排序好的数组。
动态演示
代码实现
/** 快速排序算法 */ void sort(int a[6], int left, int right) //如果左边索引大于或者等于右边的索引就代表已经整理完成一个组了 if(left >= right) return ; int i = left; int j = right; int key = a[left]; /*控制在当组内寻找一遍*/ while(i < j) while(i < j && key <= a[j]) /*而寻找结束的条件就是，1，找到一个小于或者大于key的数（大于或小于取决于你想升 序还是降序）2，没有符合条件1的，并且i与j的大小没有反转*/ //向前寻找 j--; a[i] = a[j]; /*找到一个这样的数后就把它赋给前面的被拿走的i的值（如果第一次循环且key是 a[left]，那么就是给key）*/ while(i < j && key >= a[i]) /*这是i在当组内向前寻找，同上，不过注意与key的大小关系停止循环和上面相反， 因为排序思想是把数往两边扔，所以左右两边的数大小与key的关系相反*/ i++; a[j] = a[i]; /*当在当组内找完一遍以后就把中间数key回归*/ a[i] = key; /*最后用同样的方式对分出来的左边的小组进行同上的做法*/ sort(a, left, i - 1); /*用同样的方式对分出来的右边的小组进行同上的做法*/ sort(a, i + 1, right); /*当然最后可能会出现很多分左右，直到每一组的i = j 为止*/ int main(int argc, const char * argv[]) int a[6] = 1, 10, 8, 7, 4, 3; sort(a, 0, 5); for (int i = 0; i < 6; i ++) printf("i = %d\\n",a[i]);
以上是关于算法复习_分治算法之二分搜索棋盘覆盖快速排序的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章