@noi.ac - 489@ shuffle

Posted 2022-02-05 tiw-air-oao

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给定一个长度为 n 的序列 s1,s2,…,sn，它有 2^n?1 个非空子序列。请对于每个 k=0,1,2,…,n 统计 s 有多少非空子序列 a 经过重排成 b 后，ai = bi 的位置数量的最小可能值恰好为k。

input
第一行包含一个正整数 n ，表示序列的长度。
第二行包含 n 个正整数 s1,s2,…,sn，表示序列s。

output
输出 n+1 行，每行输出一个整数，第 i 行输出 k = i+1 的非空子序列数量。因为答案可能很大，请对 1000000007(=10^9+7) 取模输出。

sample input
5
2 3 2 5 5
sample output
18
11
2
0
0
0

对于 100% 的数据，1≤si≤n，n≤250000。

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不难观察发现，序列重排后与原位置相同的位置数最小可能值只与这个序列的众数有关。

（1）当 2*众数的出现次数 ≤ 序列长度 时，最小可能值为 0。
易证。具体操作方法是每次选择某个众数和其他的数交换。可以归纳验证该方法的可行性。

（2）否则，最小可能值 = 2*众数的出现次数 - 序列长度。
保留这些位置的数不动，然后就可以归纳到上面那一种情况。

枚举众数是哪个数。
因为情况（1）不好考虑，所以我们只考虑情况（2），用总数（2^n - 1）减去情况（2）的方案数就可以得到情况（1）的方案数。

考虑枚举出来的众数为 a，它的出现次数为 t，我们所选取的子序列长度为 l，其中包含 a 的个数为 x。
则：
\[ans[2*x - l] = \sum(C_t^x*C_n-t^l-x)\]
因为所有数的出现次数总和为 n，均摊下来是一个 O(n^2) 的算法。

标算使用的是卷积优化，但是模数实在有些恶心，所以我们机房的大佬想出来另一种算法爆踩标算：

先换元：令 d = 2*x - l，消去 l。可以得到：
\[ans[d] = \sum(C_t^x*C_n-t^x-d)\]

由组合数的简单性质，可得：
\[ans[d] = \sum(C_t^t-x*C_n-t^x-d)\]

考虑其组合意义，可以发现它等于：
\[ans[d] = \sum(C_n^t-d)\]

然后均摊 O(n)，代码复杂度、时间复杂度、思维复杂度三重爆踩标算。

@accepted [email protected]

#include<cstdio>
const int MOD = int(1E9) + 7;
const int MAXN = 250000 + 5;
inline int add(int x, int y) return (x + y) % MOD;
inline int sub(int x, int y) return add(x, MOD-y);
inline int mul(int x, int y) return 1LL*x*y % MOD;
int pow_mod(int b, int p) 
    int res = 1;
    while( p ) 
        if( p & 1 ) res = mul(res, b);
        b = mul(b, b);
        p >>= 1;
    
    return res;

int a[MAXN], cnt[MAXN], ans[MAXN], n;
int fct[MAXN], inv[MAXN];
void init() 
    fct[0] = 1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        fct[i] = mul(fct[i-1], i);
    inv[n] = pow_mod(fct[n], MOD - 2);
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
        inv[i] = mul(inv[i+1], i + 1);

inline int comb(int n, int m) 
    if( n < m ) return 0;
    else return mul(fct[n], mul(inv[m], inv[n-m]));

int main() 
    scanf("%d", &n); init();
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        int x; scanf("%d", &x);
        a[x]++;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cnt[a[i]]++;
    ans[0] = sub(pow_mod(2, n), 1);
    for(int t=1;t<=n;t++)
        if( cnt[t] )
            for(int d=1;d<=t;d++)
                ans[d] = add(ans[d], mul(cnt[t], comb(n, t-d)));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans[0] = sub(ans[0], ans[i]);
    for(int i=0;i<=n;i++)
        printf("%d\n", ans[i]);

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康复计划 - 2。

如果没有 zxb 与 typ 大佬的开导我可能真的要去写 拆系数fft/三模数ntt。

大佬您们太强了 orz。

顺便好像 typ 大佬是用的打表找到的规律，太强了我肯定看半天都看不出来规律 orz。

果然组合数学就是瞎搞公式2333