常用数学化简技巧与常用公式运算能力辅导[编辑中]

Posted 2022-02-04 wanghai0666

前言

与其不停的抱怨学生的运算弱鸡，不如我们自己静下心来，好好的作以整理和总结，以期对他们有所帮助。另外还要注意体会数学化简的方向和方法；2019高考数学Ⅱ卷的第4题，让许多学生不知所云，就是例证。

引例【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第4题】原题目略，将高考真题中的物理知识背景省略，高度抽象就得到了如下的数学题目：

已知公式：\\(\\cfracM_1(R+r)^2+\\cfracM_2r^2=(R+r)\\cfracM_1R^3\\)，且已知\\(\\alpha=\\cfracrR\\)，\\(\\cfrac3\\alpha^3+3\\alpha^4+\\alpha^5(1+\\alpha)^2\\approx 3\\alpha^3\\)，试用\\(M_1\\)，\\(M_2\\)，\\(R\\)表示\\(r\\)的近似值；2019高考数学理科Ⅱ卷解析版

代数部分

• 1、四则运算的互化

加法变减法，\\(\\cfracy+2x+1=\\cfracy-(-2)x-(-1)\\)；比如用在斜率公式中。

乘法变除法，\\(3x^2+4y^2=12\\)变形为\\(\\cfracx^24+\\cfracy^23=1\\)，\\(3x^2+4y^2=1\\)变形为\\(\\cfracx^2\\frac13+\\cfracy^2\\frac14=1\\)，比如用在求长轴和短轴的长。

• 2、 繁分式化简分式 ：

\\(\\cfrac\\frac1a+\\frac2b+\\frac1c\\frac3ac-\\frac1b+\\frac4bc=\\cfrac(\\frac1a+\\frac2b+\\frac1c)\\times abc(\\frac3ac-\\frac1b+\\frac4bc)\\times abc=\\cfracbc+2ac+ab3b-ac+4a\\)；同乘

• 3、分式中负指数幂化为正指数幂：

\\(\\cfraca^x+a^-xa^x-a^-x=\\cfrac(a^x+a^-x)\\times a^x(a^x-a^-x)\\times a^x=\\cfraca^2x+1a^2x-1\\)；同乘

参见分式型函数常用变形

• 4、指数运算、对数运算、根式运算

参见指数对数的运算

• 5、齐次式变形，为函数求值域，三角函数化简、变形、求值做准备：

①\\(z=\\cfraca+\\sqrt2b\\sqrt2a+b\\)；分子分母同除以\\(b\\)变形得到，\\(z=\\cfrac\\fracab+\\sqrt2\\sqrt2\\fracab+1\\xlongequalt=\\fracab\\cfract+\\sqrt2\\sqrt2t+1\\)

②\\(z=\\cfrac2a^2+4ab-3b^2a^2+ab+b^2\\)；分子分母同除以\\(b^2\\)变形得到，\\(z=\\cfrac2(\\fracab)^2+4\\fracab-3(\\fracab)^2+\\fracab+1\\xlongequalt=\\fracab\\cfrac2t^2+4t-3t^2+t+1\\)

③\\(\\cfraca\\sin\\theta+b\\cos\\thetac\\sin\\theta+d\\cos\\theta\\xlongequal[分子分母是sin\\theta,cos\\theta的一次齐次式]分子分母同除以cos\\theta\\cfraca\\tan\\theta+bc\\tan\\theta+d\\) (\\(a,b,c,d\\)为常数)；

④\\(\\cfrac\\sin2\\theta-\\cos^2\\theta1+\\sin^2\\theta=\\cfrac2sin\\theta cos\\theta-cos^2\\theta2sin^2\\theta+cos^2\\theta\\xlongequal[分子分母是sin\\theta,cos\\theta的二次齐次式]分子分母同除以cos^2\\theta\\cfrac2tan\\theta-12tan^2\\theta+1\\)

⑤\\(a^2-5ab+4b^2>0\\)，同除以\\(b^2\\)得到，\\((\\cfracab)^2-5\\cfracab+4>0\\)，得到\\(\\cfracab<1\\)或\\(\\cfracab>4\\)；

参见齐次式的相关

• 4、除法分配律(分数裂项)，分式变形时最常用。

\\(①\\cfracb+ca=\\cfracba+\\cfracca\\)；\\(②\\cfraca-bab=\\cfrac1b-\\cfrac1a\\)；

但是她更多的时候表示为整式形式，如\\(a_n-a_n+1=ka_n+1a_n\\)，

两边同除以\\(a_n+1a_n\\)，可以变形为\\(\\cfrac1a_n+1-\\cfrac1a_n=k\\)；

• 5、分子常数化(化为部分分式，也可以理解为使用了变量集中策略，这样的变形在研究函数的单调性，值域等问题时使用频度比较高)

\\(①y=\\cfrac2x-1x-1=\\cfrac(2x-2)+1x-1=2+\\cfrac1x-1\\)；

\\(②y=\\cfrac2xx+4=\\cfrac21+\\frac4x\\)；

\\(③y=\\cfraca^x-1a^x+1=\\cfrac(a^x+1)-2a^x+1=1-\\cfrac2a^x+1\\)；

\\(④y=\\cfrac2x^2-4x+3x-1=\\cfrac2(x-1)^2+1x-1=2(x-1)+\\cfrac1x-1\\)；¹

• 6、分母有理化，常常为数列中的裂项相消法准备：

①\\(\\cfrac1\\sqrta+\\sqrtb=\\cfrac1\\cdot(\\sqrta-\\sqrtb)(\\sqrta+\\sqrtb)(\\sqrta-\\sqrtb)=\\cfrac\\sqrta-\\sqrtba-b\\)；

②\\(\\cfrac1\\sqrtx^2+1-x=\\cfrac1\\cdot (\\sqrtx^2+1+x)(\\sqrtx^2+1-x)(\\sqrtx^2+1+x)=\\sqrtx^2+1+x\\)；²

③\\(\\cfrac1\\sqrtx^2+1+x=\\cfrac1\\cdot (\\sqrtx^2+1-x)(\\sqrtx^2+1-x)(\\sqrtx^2+1+x)=\\sqrtx^2+1-x\\)；

• 7、分子有理化，常常为求函数或数列的极限或大小比较而准备：

①\\(\\sqrta-\\sqrtb=\\cfrac(\\sqrta-\\sqrtb)(\\sqrta+\\sqrtb)1\\cdot (\\sqrta+\\sqrtb)=\\cfraca-b\\sqrta+\\sqrtb\\)；

②\\(\\sqrtn^2+1-n=\\cfrac\\sqrtn^2+1-n1=\\cfrac(\\sqrtn^2+1-n)(\\sqrtn^2+1+n)1\\cdot (\\sqrtn^2+1+n)=\\cfrac1\\sqrtn^2+1+n\\)；³

• 8、配方，为二次函数对称轴，圆锥曲线方程等准备：①②③④⑤⑥

①\\(a^2\\pm ab+b^2=(a\\pm \\cfracb2)^2+\\cfrac34b^2\\)；②\\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\\)；(常与韦达定理相关，与解析几何或坐标系与参数方程题目相关)

③\\(x^2+\\cfrac1x^2=(x+\\cfrac1x)^2-2\\)；④\\(y=ax^2+bx+c=a(x+\\cfracb2a)^2+\\cfrac4ac-b^24a(a\\neq 0)\\)(二次函数对称轴)

⑤\\(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\\cfrac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\\ge 0\\)(与均值不等式相关，常引申为\\(a^2+b^2+c^2\\ge ab+bc+ac(当且仅当a=b=c时取到等号)\\))

• 9、因式分解、乘法公式，常与解方程，解不等式相关：

①\\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\\)；②\\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\\)；

③\\(a^2\\pm 2ab+b^2=(a\\pm b)^2\\)；④\\(a^3\\pm b^3=(a\\pm b)(a^2\\mp ab+b^2)\\)；

⑤\\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\)；⑥\\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\\)；[^wh03]

[^wh03]实际高三数学教学和考试中的相关内容常常是这样的：
①\\(x^2-5\\sqrt2x+8\\ge 0\\)，即\\((x-\\sqrt2)(x-4\\sqrt2)\\ge 0\\)；
②\\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\\leq 0\\)，即\\([x-(m+2)][x-(m-1)]\\leq 0\\)；
③\\(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\\ge 0\\)；即\\([x-(m-1)][x-(2m+1)]\\ge 0\\)；
④\\(x^2-(a+a^2)x+a^3\\leq 0\\)，即\\((x-a)(x-a^2)\\leq 0\\)；
⑤\\(x^2-(a+1)x+a\\leq 0\\)，即\\((x-1)(x-a)\\leq 0\\)；
⑥\\(x^2-(2a+1)x+a(a+1)\\leq 0\\)；即\\((x-1)[x-(a+1)]\\leq 0\\)；
⑦\\(\\cfracx-2ax-(a^2+1)<0(a\\neq 1)\\)；即\\((x-2a)[x-(a^2+1)]<0\\)，解集为\\((2a，a^2+1)\\)；
⑧\\(x^2+(m+4)x+m+3<0\\)，即\\((x+1)[x+(m+3)]<0\\)；
⑨\\(x^2-(a+\\cfrac1a)x+1<0\\)，即\\((x-a)(x-\\cfrac1a)<0\\)；
⑩\\(f'(x)=x+(a-e)-\\cfracaex=\\cfracx^2+(a-e)x-aex=\\cfrac(x+a)(x-e)x\\)；
⑾\\(x^2-2ax+a^2-4=x^2-2ax+(a+2)(a-2)=[x-(a-2)][x-(a+2)]\\leq0\\)，即\\(a-2\\leq x\\leq a+2\\) ；

• 10、整体代换，常与函数的变形、函数的性质的变换和推导有关，

①、\\(f(x+4)=f(x)\\)或者\\(f(x+2)=f(x-2)\\Longrightarrow T=4\\)；

②、\\(f(x+a)=-f(x)\\Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=0\\Longrightarrow T=2a\\;\\;\\;\\;\\;\\)⁴

\\(f(x+a)=b-f(x)\\Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=b\\Longrightarrow T=2a\\;\\;\\;\\;\\;\\)⁵

③、\\(f(x+a)=\\cfrackf(x)(k\\neq 0)\\Leftrightarrow f(x+a)f(x)=k \\Longrightarrow T=2a\\);⁶

④、\\(f(x+2)=f(x+1)-f(x)\\Longrightarrow f(x+3)=-f(x)\\Longrightarrow T=6\\)

或者\\(f(n+2)=f(n+1)-f(n)\\Longrightarrow f(n+3)=-f(n)\\Longrightarrow T=6\\)

⑤、抽象函数的对称性

⑥、函数性质的综合运用

• 11、常数代换

①\\(\\cfrac1-tan15^\\circ1+tan15^\\circ=\\cfractan45^\\circ-tan15^\\circ1+tan45^\\circ\\cdot tan15^\\circ=\\tan30^\\circ=\\cfrac\\sqrt33\\).

②\\(a+b=2\\)，且\\(a>0\\)，\\(b>0\\)，求\\(\\cfrac1a+\\cfrac2b\\)的最小值；

③

• 12、能合二为一或一分为二

• 13、需要化简的

• 10、一元二次方程相关，设\\(ax^2+bx+c=0（a\\neq 0）\\)的两个根为\\(x_1，x_2\\)，\\(\\Delta=b^2-4ac\\)，

①求根公式：\\(x_1，2=\\cfrac-b\\pm \\sqrtb^2-4ac2a（\\Delta >0）\\)；\\(|x_1-x_2|=\\sqrt(x_1-x_2)^2=\\sqrt(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\\cfrac\\sqrt\\Delta |a|\\)；

②韦达定理：\\(\\begincases x_1+x_2=-\\cfracba \\\\ x_1x_2=\\cfracca \\endcases\\)，如果解关于\\(x_1，x_2\\)的二元方程，就可以通过构造方程\\(x^2+\\cfracbax+\\cfracca=0\\)再解。

③因式分解：\\(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\\)；

④【补充】\\(ax+b=0\\)对所有\\(x\\in R\\)都成立，则等价于\\(a=b=0\\)；\\(am+bn=0\\)对所有\\(m，n\\in R\\)都成立，则等价于\\(a=b=0\\)；

\\(ax^2+bx+c=0\\)对所有\\(x\\in R\\)都成立，则等价于\\(a=b=c=0\\)；\\(am^2+bmn+cn^2=0\\)对所有\\(m，n\\in R\\)都成立，则等价于\\(a=b=c=0\\)；

• 11、三角形的基础知识相关

①三边关系：\\(a+b>c\\)且\\(b+c>a\\)且\\(c+a>b\\)，由这个关系可以推出任意两边之差小于第三边；故只需要记忆一组公式即可。

②\\(n\\)边形内角和\\((n-2)\\cdot 180^\\circ\\)；\\(n\\)边形外角和：\\(360^\\circ\\)；

③\\(a>b \\Leftrightarrow A>B\\)；延伸到高中得到\\(a>b \\Leftrightarrow A>B\\Leftrightarrow sinA>sinB \\Leftrightarrow cosA<cosB\\)；

• 12、引入比例因子简化运算

借助比例因子简化运算

• 13、

• 14、特殊方程组

已知\\(\\left\\\\beginarraylxy=12\\\\yz=8\\\\xz=6\\endarray\\right.\\)，求解方程组；

分析：三式相乘再开方，得到\\(xyz=24\\)，然后与已知的三个式子相除，

得到\\(x=3\\)，\\(y=4\\)，\\(z=2\\)。

• 15、和分比性质

由\\(\\cfracx\\sqrt3=\\cfrac2-x2\\sqrt3\\)解方程，则可得到\\(\\cfrac2-xx=\\cfrac2\\sqrt3\\sqrt3\\)，

利用和比性质得到，\\(\\cfrac2-x+xx=\\cfrac2\\sqrt3+\\sqrt3\\sqrt3\\)，

即\\(\\cfrac2x=\\cfrac3\\sqrt3\\sqrt3=3\\)，则\\(x=\\cfrac23\\)；

几何部分

---

1. 引例2、已知函数\\(f(x)=mlnx+x^2-mx\\)在\\((1，+\\infty)\\)上单调递增，求m的取值范围____________．
   【分析】由函数单调递增，转化为\\(f'(x)≥0\\)在\\((1，+\\infty)\\)上恒成立，然后分离参数得到\\(m≤g(x)\\)，用均值不等式求新函数\\(g(x)\\)的最小值即可。
   【解答】由题目可知，\\(f'(x)≥0\\)在\\((1，+\\infty)\\)上恒成立，且\\(f'(x)\\)不恒为零，
   则有\\(f'(x)=\\cfracmx+2x-m=\\cfrac2x^2-mx+mx≥0\\)在\\((1，+\\infty)\\)上恒成立，
   即\\(2x^2-mx+m≥0\\)在\\((1，+∞)\\)上恒成立，常规法分离参数得到
   m≤\\(\\cfrac2x^2x-1=\\cfrac2(x-1)^2+4x-2x-1=\\cfrac2(x-1)^2+4(x-1)+2x-1=2(x-1)+\\cfrac2x-1+4\\)
   由于\\(x>1\\)，故\\(2(x-1)+\\cfrac2x-1+4≥2\\sqrt4+4=8\\)，当且仅当\\(x=2\\)时取到等号。
   故\\(m≤8\\)，当\\(m=8\\)时，函数不是常函数，也满足题意，故\\(m≤8\\)。?

2. 【具体应用①】比如函数\\(f(x)=ln(\\sqrtx^2+1-x)\\)，则可知\\(f(-x)=ln(\\sqrtx^2+1+x)\\)，即\\(f(x)+f(-x)=ln1=0\\)，即函数\\(f(x)\\)为奇函数；
   那么函数\\(f(x)=ln(\\sqrtx^2+1-x)+1\\)呢，同理可得，\\(f(x)+f(-x)=2\\)，即函数\\(f(x)\\)关于点\\((0，1)\\)对称。
   【具体应用②】比如函数\\(g(x)=lg(\\sqrtsin^2x+1+sinx)\\)，则可知\\(g(-x)=lg(\\sqrtsin^2x+1-sinx)\\)，
   即\\(g(x)+g(-x)=lg1=0\\)，即函数\\(g(x)\\)为奇函数；
   ?

3. 引例，\\(b=\\sqrt7-\\sqrt3\\)，\\(c=\\sqrt6-\\sqrt2\\)，比较\\(b、c\\)的大小。
   分析：\\(b=\\sqrt7-\\sqrt3=\\cfrac\\sqrt7-\\sqrt31=\\cfrac4\\sqrt7+\\sqrt3\\)；
   \\(c=\\sqrt6-\\sqrt2=\\cfrac\\sqrt6-\\sqrt21=\\cfrac4\\sqrt6+\\sqrt2\\)；
   由于\\(\\sqrt7+\\sqrt3>\\sqrt6+\\sqrt2\\)，故\\(\\cfrac4\\sqrt7+\\sqrt3<\\cfrac4\\sqrt6+\\sqrt2\\)，
   即\\(b<c\\)。?

4. 推导：\\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]\\xlongequal[整体代换]用x+a代换已知式中的x-f(x+a)\\xlongequal[代换]用已知f(x+a)=-f(x)-(-f(x))=f(x)\\Longrightarrow T=2a\\)?

5. 推导：\\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=b-f(x+a)=b-(b-f(x))=f(x)\\Longrightarrow T=2a\\)?

6. 推导：\\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\\cfrackf(x+a)=\\cfrack\\cfrackf(x)= f(x)\\Longrightarrow T=2a\\)?