巧妙思维：2的幂数

Posted 2022-01-31 baoyihan

小明开始学习二进制转化到十进制，其中要用到2的幂（2的3次幂就是3个2相乘），他觉得这个很有意思。既然通过2的幂相加可以得到十位数，那么反过来，一个十进制数是否可以通过若干个2的幂相加得到呢？

小明开始研究起来，他先列出了所有2的幂：1,2,4,8,16,32,64……。

4=1+1+1+1

4=1+1+2

4=2+2

4=4

4共有4种方法

7=1+1+1+1+1+1+1

7=1+1+1+1+1+2

7=1+1+1+2+2

7=1+1+1+4

7=1+2+2+2

7=1+2+4

7共有6种方法

1+2+4和2+1+4认为是同一个等式，因为它们的组成相同。

现在小明想要知道，给出一个十进制数（不超过10000），可以写出多少种，用若干个2的幂数相加的式子。

思路：

1.如果n是奇数，则f[n]=f[n-1]（一定要分个1出来，所以它的结果就等于偶数n-1的结果）

2.如果n是偶数，则考虑将它拆分为带1和不带1两种情况：

（1）带1：这种情况下种数为f[n-1]（也就是奇数n-1的结果）

（2）不带1：这种情况下种数为f[n/2]（很巧妙，分出来不带1的情况下肯定分出来的数每个都是偶数，这种情况下的种数可以等价于n/2的种数，因为把分出来的数都除以2不就是n/2分出来的数吗？）

综上：有递推公式：n为奇时，f[n]=f[n-1]；n为偶时，f[n]=f[n-1]+f[n/2]；

此外，还要注意n==1时，直接初始化f[1]=1。

#include <cstdio>
int f[1010];

int main()
    int n;
    scanf("%d", &n);
    f[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) 
        if(i % 2 != 0) f[i] = f[i - 1];
        else f[i] = f[i-1] + f[i/2];
    
    printf("%d\n",f[n]);
    return 0;