loj6485 LJJ 学二项式定理

Posted 2022-01-27 liguanlin1124

题目描述：

loj

题解：

单位根反演。

$[n|x]=\frac1n \sum _i=0^n-1 (ω_n^x)^i$

证明？显然啊，要么停在$(1,0)$要么转一圈。

所以说题目要求的是$\sum _i=0^n C(n,i) * s^i * a_i\;mod\;4$

把$a$提前，变成$\sum_k=0^3a_k \sum _i=0 ^n C(n,i) *s^i [4|i-k]$

然后把上面单位根反演式子套进去。后面变成$\sum _i=0 ^n C(n,i) * s^i * \frac14 \sum _j=0 ^3 (ω_4 ^i-1)^j$

把后面提前面：$\frac14 \sum_j=0^3 ω_4^-j \sum_i=0^n C(n,i)*s^i*ω_4^ij$

发现二项式定理：$\frac14 \sum_j=0^3 ω_4^-j * (sω_4^j+1)^n$

最后就剩快速幂了？

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 998244353;
template<typename T>
inline void read(T&x)

    T f = 1,c = 0;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)c=c*10+ch-‘0‘;ch=getchar();
    x = f*c;

ll fastpow(ll x,ll y)

    ll ret = 1;
    while(y)
    
        if(y&1)ret=ret*x%MOD;
        x=x*x%MOD;y>>=1;
    
    return ret;

int T;
ll n,s,a0,a1,a2,a3,w0,w1,w2,w3,W0,W1,W2,W3,ans,inv;
void work()

    read(n),read(s),read(a0),read(a1),read(a2),read(a3);n%=(MOD-1),ans=0;
    W0 = fastpow(s*w0%MOD+1,n),W1 = fastpow(s*w1%MOD+1,n);
    W2 = fastpow(s*w2%MOD+1,n),W3 = fastpow(s*w3%MOD+1,n);
    ans=(ans+a0*(w0*W0%MOD+w0*W1%MOD+w0*W2%MOD+w0*W3%MOD)%MOD)%MOD;
    ans=(ans+a1*(w0*W0%MOD+w3*W1%MOD+w2*W2%MOD+w1*W3%MOD)%MOD)%MOD;
    ans=(ans+a2*(w0*W0%MOD+w2*W1%MOD+w0*W2%MOD+w2*W3%MOD)%MOD)%MOD;
    ans=(ans+a3*(w0*W0%MOD+w1*W1%MOD+w2*W2%MOD+w3*W3%MOD)%MOD)%MOD;
    printf("%lld\n",ans*inv%MOD);

int main()

//    freopen("tt.in","r",stdin);
    read(T);inv = fastpow(4,MOD-2);
    w0=1,w1=fastpow(3,(MOD-1)/4),w2=w1*w1%MOD,w3=w1*w2%MOD;
    while(T--)work();
    return 0;

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