半正多面体

Posted 2022-01-26 wanghai0666

前言

典例剖析

例1【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第16题】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”，半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，图2是一个棱数为\\(48\\)的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为\\(1\\)，则该半正多面体共有__________个面，其棱长为_____________。

分析：半正多面体的制作过程，如下图所示；

解析：如果我们将其看成是三层的，则每一层都有\\(8\\)个面，再外加上下两个面，故共有\\(3\\times 8+2=26\\)个面。

如图所示，设棱长为\\(x\\)，即\\(MN=NE=x\\)，由\\(\\triangle EHN\\)为等腰直角三角形，

由\\(NE=x\\)，则可知\\(NH=\\cfrac\\sqrt22x\\)，又\\(MN+2NH=1\\)，

则\\(x+2\\times \\cfrac\\sqrt22x=1\\)，即\\((\\sqrt2+1)x=1\\)，解得\\(x=\\sqrt2-1\\).

综上可知，此半正多面体共有\\(26\\)个面，棱长为\\(\\sqrt2-1\\)。

【解后反思】

1、求其表面积；

2、求其体积；

3、求其内切球的半径；

4、求其外接球的半径；