线性方程组的迭代求解算法——原理

Posted 2022-01-25 fengqiao

• 迭代法的一般形式（对于Ax=b的一般形式）
  • 迭代格式
    
  • G称为迭代算子
  • 由迭代格式得到迭代序列
    
  • 如迭代序列收敛于方程组的精确解，则称此迭代格式收敛
  • 迭代格式的构造；将方程组改写成如下形式，如令A=B-C
    
• Jacobi迭代：
  • 算法实现：线性方程组迭代求解——Jacobi迭代算法（Python实现）
    
  • 令A=D-L-U
  • Jacobi迭代格式
    
  • Jacobi迭代矩阵：
    
• Gauss-Seidel迭代
  • Gauss-Seidel迭代格式
    
    
  • Gauss-Seidel迭代矩阵
    
• 迭代算法的收敛性
  • 迭代格式的收敛性：
    • 迭代格式对任意初始量都收敛的充要条件是（也就是M的谱半径小于1）
      
    • 如果A是绝对行（列）对角占优，则Jacobi迭代格式、Gauss-Seidel迭代格式都收敛
    • 如果A是实对称矩阵，则Gauss-Seidel迭代格式收敛
  • 迭代格式的收敛速度：取决于M的谱半径大小，M的谱半径越小，收敛速度越快。
  • 迭代格式的误差估计：