区间DP

Posted 2022-01-15 hanasaki

定义：区间DP，顾名思义是在区间上DP，它的主要思想就是先在小区间进行DP得到最优解，然后再利用小区间的最优解合并求大区间的最优解。

动态转移方程一般为dp[i][j]=opt(dp[i][k]+dp[k+1][j]+cost[i][j])

经典例题：取石子问题
很容易根据动态转移方程得出O（n^3）的解法，但是也可以通过四边形不等式优化到O（n^2）
四边形不等式：如果对于任意的a<b<c<d，有m[a,c]+m[b,d]<=m[a,d]+a[b,c]，那么m[i,j]满足四边形不等式
对于这个问题，令m[i,j]为取[i,j]石子的最小代价，s[i,j]为取得m[i,j]对应的k值。
首先可以通过数学归纳法证明m[i,j]满足四边形不等式，此处略去。
满足四边形不等式之后就可以证明s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]，从而可以缩小迭代范围。

百度百科上对s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]的证明：
设mk[i,j]=m[i,k]+m[k,j]，s[i,j]=d
对于任意k<d，有mk[i,j]≥md[i,j]（这里以m[i,j]=minm[i,k]+m[k,j]为例,max的类似），接下来只要证明
mk[i+1,j]≥md[i+1,j]，那么只有当s[i+1,j]≥s[i,j]时才有可能有mk[i+1,j]≥md[i+1,j]
(mk[i+1,j]-md[i+1,j])-(mk[i,j]-md[i,j])
=(mk[i+1,j]+md[i,j])-(md[i+1,j]+mk[i,j])
=(m[i+1,k]+m[k,j]+m[i,d]+m[d,j])-(m[i+1,d]+m[d,j]+m[i,k]+m[k,j])
=(m[i+1,k]+m[i,d])-(m[i+1,d]+m[i,k])
∵m满足四边形不等式，∴对于i<i+1≤k<d有m[i+1,k]+m[i,d]≥m[i+1,d]+m[i,k]
∴(mk[i+1,j]-md[i+1,j])≥(mk[i,j]-md[i,j])≥0
∴s[i,j]≤s[i+1,j]，同理可证s[i,j-1]≤s[i,j]
证毕

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=205;
const int INF=0x7fffffff;
int n;
int a[N],sum[N],dp[N][N],s[N][N];

int main()
    while(~scanf("%d",&n))
        sum[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
            sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        
        for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][i]=0,s[i][i]=i;
        for(int r=1;r<n;r++)
            for(int i=1;i<n;i++)
                int j=i+r;
                if(j>n) break;
                dp[i][j]=INF;
                for(int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++)
                    if(dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k+1][j])
                        dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j];
                        s[i][j]=k;
                    
                
                dp[i][j]+=sum[j]-sum[i-1];
            
        
        printf("%d\n",dp[1][n]);
    
    return 0;