[BJOI2019]勘破神机（第一类斯特林数，斐波那契数列）

Posted 2022-01-15 1000suns

 

真的是好题，只不过强行多合一有点过分了……

题目大意：

$T$ 组数据。每个测试点中 $m$ 相同。

对于每组数据，给定 $l,r,k$，请求出 $\\dfrac1r-l+1\\sum\\limits_n=l^r\\dbinomf(n,m)k\\bmod 998244353$。

其中 $f(n,m)$ 表示用 $1\\times 2$ 的骨牌（可以变成 $2\\times 1$）填满 $n\\times m$ 的网格的方案数。

$1\\le T\\le 5,1\\le l\\le r\\le 10^18,1\\le k\\le 501,2\\le m\\le 3$。保证 $r-l+1$ 不是 $998244353$ 的倍数。

---

$2\\le m\\le 3$，明显二合一了。（其实后面会发现不止二合一）

先看 $m=2$。众所周知 $f(n,2)=fib_n+1$。然后就变成这题了。注意 $\\sqrt5$ 在模 $998244353$ 下也没有意义，还是要扩系。

接下来看 $m=3$。

首先肯定 $n$ 是偶数的时候 $f(n,3)$ 才不为 $0$，那么设 $g_n=f(2n,3)$，然后要求就是 $\\sum\\limits_n=\\lceil\\fracl2\\rceil^\\lfloor\\fracr2\\rfloorg_n$。（为方便下文假设求 $l$ 到 $r$ 的和）

（从题解偷张图，%%%vixbob） 

 

说得应该很清楚了。那么 $g_n=3g_n-1+2\\sum\\limits_i=0^n-2g_i$。

那么 $g_n+1-g_n=3g_n-g_n-1$，得递推公式 $g_n=4g_n-1-g_n-2$。初始 $g_0=1,g_1=3$。

用特征方程解出通项公式：

$$g_n=\\dfrac3+\\sqrt36(2+\\sqrt3)^n+\\dfrac3-\\sqrt36(2-\\sqrt3)^n$$

然后就一样了。

时间复杂度 $O(Tk^2\\log r)$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=555,mod=998244353,inv2=499122177,inv5=598946612,inv6=166374059;
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline ll read()
    char ch=getchar();ll x=0,f=0;
    while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘) f|=ch==‘-‘,ch=getchar();
    while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
    return f?-x:x;

int t,m,k,fac[maxn],invfac[maxn],S[maxn][maxn],C[maxn][maxn];
ll l,r;
inline int add(int x,int y)return x+y<mod?x+y:x+y-mod;
inline int sub(int x,int y)return x<y?x-y+mod:x-y;
inline int mul(int x,int y)return 1ll*x*y%mod;
inline int qpow(int a,ll b)
    int ans=1;
    for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) ans=mul(ans,a);
    return ans;

template<int T>
struct comp
    int x,y;
    comp(const int xx=0,const int yy=0):x(xx),y(yy)
    inline comp operator+(const comp &c)constreturn comp(add(x,c.x),add(y,c.y));
    inline comp operator-(const comp &c)constreturn comp(sub(x,c.x),sub(y,c.y));
    inline comp operator*(const comp &c)constreturn comp(add(mul(x,c.x),mul(T,mul(y,c.y))),add(mul(x,c.y),mul(y,c.x)));
    inline comp inv()const
        comp ans(x,y?mod-y:0);
        int dn=qpow(sub(mul(x,x),mul(T,mul(y,y))),mod-2);
        return ans*dn;
    
    inline comp operator/(const comp &c)constreturn *this*c.inv();
    inline bool operator==(const comp &c)constreturn x==c.x && y==c.y;
;
comp<5> a2(0,inv5),b2(0,mod-inv5),x2(inv2,inv2),y2(inv2,mod-inv2);
comp<3> a3(inv2,inv6),b3(inv2,mod-inv6),x3(2,1),y3(2,mod-1);
template<int T>
inline comp<T> cqpow(comp<T> a,ll b)
    comp<T> ans(1,0);
    for(;b;b>>=1,a=a*a) if(b&1) ans=ans*a;
    return ans;

template<int T>
comp<T> calc(comp<T> x,ll l,ll r)
    if(x==1) return (r-l+1)%mod;
    return (cqpow(x,r+1)-cqpow(x,l))/(x-1);

int main()
    FOR(i,0,501) C[i][0]=C[i][i]=1;
    FOR(i,1,501) FOR(j,1,i-1) C[i][j]=add(C[i-1][j],C[i-1][j-1]);
    S[1][1]=1;
    FOR(i,2,501) FOR(j,1,i) S[i][j]=add(mul(i-1,S[i-1][j]),S[i-1][j-1]);
    fac[0]=1;
    FOR(i,1,501) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
    invfac[501]=qpow(fac[501],mod-2);
    ROF(i,500,0) invfac[i]=mul(invfac[i+1],i+1);
    t=read();m=read();
    while(t--)
        l=read();r=read();k=read();
        if(m==2)
            int ans=0;
            FOR(i,0,k)
                int s=0;
                FOR(j,0,i)
                    comp<5> tmp1=cqpow(a2,j)*cqpow(b2,i-j),tmp2=cqpow(x2,j)*cqpow(y2,i-j);
                    s=add(s,mul(C[i][j],(tmp1*calc(tmp2,l+1,r+1)).x));
                
                s=mul(s,S[k][i]);
                if((k-i)&1) ans=sub(ans,s);
                else ans=add(ans,s);
            
            printf("%d\\n",mul(mul(ans,invfac[k]),qpow((r-l+1)%mod,mod-2)));
        
        else
            ll lll=(l+1)>>1,rrr=r>>1;
            if(lll>rrr)puts("0");continue;
            int ans=0;
            FOR(i,0,k)
                int s=0;
                FOR(j,0,i)
                    comp<3> tmp1=cqpow(a3,j)*cqpow(b3,i-j),tmp2=cqpow(x3,j)*cqpow(y3,i-j);
                    s=add(s,mul(C[i][j],(tmp1*calc(tmp2,lll,rrr)).x));
                
                s=mul(s,S[k][i]);
                if((k-i)&1) ans=sub(ans,s);
                else ans=add(ans,s);
            
            printf("%d\\n",mul(mul(ans,invfac[k]),qpow((r-l+1)%mod,mod-2)));
        
    

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