树上差分：闇の連鎖 题解

Posted 2022-01-14 tyouchie

题目描述

传说中的暗之连锁被人们称为 Dark。

Dark 是人类内心的黑暗的产物，古今中外的勇者们都试图打倒它。

经过研究，你发现 Dark 呈现无向图的结构，图中有 N 个节点和两类边，一类边被称为主要边，而另一类被称为附加边。

Dark 有 N – 1 条主要边，并且 Dark 的任意两个节点之间都存在一条只由主要边构成的路径。

另外，Dark 还有 M 条附加边。

你的任务是把 Dark 斩为不连通的两部分。

一开始 Dark 的附加边都处于无敌状态，你只能选择一条主要边切断。

一旦你切断了一条主要边，Dark 就会进入防御模式，主要边会变为无敌的而附加边可以被切断。

但是你的能力只能再切断 Dark 的一条附加边。

现在你想要知道，一共有多少种方案可以击败 Dark。

注意，就算你第一步切断主要边之后就已经把 Dark 斩为两截，你也需要切断一条附加边才算击败了 Dark。
输入格式

第一行包含两个整数 N 和 M。

之后 N – 1 行，每行包括两个整数 A 和 B，表示 A 和 B 之间有一条主要边。

之后 M 行以同样的格式给出附加边。

输出格式
输出一个整数表示答案。

数据范围
N≤100000,M≤200000,数据保证答案不超过231−1

样例
输入样例：
4 1
1 2
2 3
1 4
3 4
输出样例：
3

在没有附加边的情况下，我们发现这是一颗树，那么再添加条附加边（x，y）后，会造成（x，y）之间产生一个环
如果我们第一步截断了（x,y）之间的一条路，那么我们第二次只能截掉(x,y)之间的附加边，才能使其不连通；
我们将每条附加边（x，y）称为将（x，y）之间的路径覆盖了一遍；
因此我们只需要统计出每条主要边被覆盖了几次即可；
对于只被覆盖一次的边，第二次我们只能切断（x，y）边，方法唯一；
如果我们第一步切断了被覆盖0次的边，那么我们已经将其分为两部分，那么第二部只需要在m条附加边中任选一条即可，如果第一步截到被覆盖超过两次的边，将无法将其分为两部分；
运用乘法原理，我们累加答案；
那么怎么标记我们的边（x，y）被覆盖了几次呢，那么我们可以使用树上差分，是解决此类问题的经典套路；
我们想，对于一条边（x,y），我们添加一条边；
那么只会对x到lca（x，y）到y上的边产生影响，对于（x,y）我们将x节点的权值+1，y节点的权值+1，另lca（x，y）的权值-2，画图很好理解，那么我们进行一遍dfs求出每个节点权值，那么这个值就是节点父节点连边被覆盖的次数，按上述方法累加答案即可；
时间复杂度分析：O(N+M）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 500100

int x,y,n,m,tot,ans,p[N],f1[N],lin[N],f[N][25],d[N],vis[N];

template<typename T>inline void read(T &x)

    x=0;T f=1,ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))  if(ch==‘-‘)  f=-1;  ch=getchar();
    while(isdigit(ch))  x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);  ch=getchar();
    x*=f;


struct gg 
    int x,y,next;
a[N<<1];

inline void add(int x,int y) 
    a[++tot].x=x;
    a[tot].y=y;
    a[tot].next=lin[x];
    lin[x]=tot;


void bfs(int x) 
    queue<int> q;
    q.push(1);
    d[1]=1;
    while(q.size()) 
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(int i=lin[x];i;i=a[i].next) 
            int y=a[i].y;
            if(d[y]) continue;
            d[y]=d[x]+1;
            f[y][0]=x;
            for(int j=1;j<=23;j++)
                f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];
            
            q.push(y);
        
    


inline int lca(int x,int y) 
    if(d[x]>d[y]) swap(x,y);
    for(int i=23;i>=0;i--) 
        if(d[f[y][i]]>=d[x]) y=f[y][i];
    
    if(x==y) return x;
    for(int i=23;i>=0;i--) 
        if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
    
    return f[x][0];


inline void dfs(int x) 
    vis[x]=1;
    for(int i=lin[x];i;i=a[i].next) 
        int y=a[i].y;
        if(vis[y]) continue;
        dfs(y);
        p[x]+=p[y];
     


int main() 
    read(n); read(m);
    int x,y;
    for(int i=1;i<n;i++) 
        read(x);read(y);
        add(x,y);
        add(y,x);
    
    bfs(1);
    for(int i=1;i<=m;i++) 
        read(x);read(y);
        p[x]++,p[y]++;
        p[lca(x,y)]-=2;
    
    dfs(1);
    for(int i=2;i<=n;i++) 
        if(!p[i]) ans+=m;
        if(p[i]==1) ans+=1;
    
    cout<<ans<<endl;
    return 0;

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