SCUT - 157 - CC和他的GCD - 容斥原理

Posted 2022-01-10 yinku

https://scut.online/p/157

鉴于多年（都没几个月）搞数论的经验，这种时候枚举g肯定是对的。

那么肯定是要莫比乌斯函数作为因子，因为很显然？

但是为什么要搞个负的呢？其实是因为这个题目的g==1的时候并不都是合法的，反而是g==2的时候都是合法的，所以g==6的时候才是重复的。

然后考虑怎么统计他们的倍数。

每次都因数分解，是很慢的。

考虑到这题的特征，数字特别小。用个cnt把每个数字都数一数。

然后从小的数字开始把它所有的倍数都加在它身上。

最后预处理一波组合数就可以了。

整体复杂度每次是\(O(nlogn)\)的，比\(O(n\sqrtn)\)快了近10倍。

不过最后还是快读最快啊233！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int MAXN=1e5;

int pri[MAXN+5];
int &pritop=pri[0];
int mu[MAXN+5];
void sieve(int n=MAXN) 
    mu[1]=1;
    for(int i=2; i<=n; i++) 
        if(!pri[i]) 
            pri[++pritop]=i;
            mu[i]=-1;
        
        for(int j=1; j<=pritop; j++) 
            int &p=pri[j];
            int t=i*p;
            if(t>n)
                break;
            pri[t]=1;
            if(i%p) 
                mu[t]=-mu[i];
             else 
                mu[t]=0;
                break;
            
        
    


const int mod=1e9+7;

int inv[MAXN+5],fac[MAXN+5],invfac[MAXN+5];

void init_fac_invfac(int n=MAXN) 
    inv[1]=1;
    for(int i=2; i<=n; i++)
        inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    fac[0]=1,invfac[0]=1;
    for(int i=1; i<=n; i++) 
        fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
        invfac[i]=1ll*invfac[i-1]*inv[i]%mod;
    


inline ll C(ll n,ll m) 
    if(n<m)
        return 0;
    return 1ll*fac[n]*invfac[n-m]%mod*invfac[m]%mod;


inline int read()
    int x=0;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')
        c=getchar();
    do
        x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
        c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9');
    return x;


inline void write(int x)
    if(x>9)
        write(x/10);
    
    putchar(x%10+'0');
    return;


int cnt[MAXN+5];
int main() 
#ifdef Yinku
    freopen("Yinku.in","r",stdin);
#endif // Yinku
    sieve();
    init_fac_invfac();
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)) 
        memset(cnt,0,sizeof(cnt));
        for(int i=1; i<=n; i++) 
            int tmp=read();
            cnt[tmp]++;
        
        for(int d=2;d<=100000;d++)
            for(int td=d+d;td<=100000;td+=d)
                cnt[d]+=cnt[td];
        
        ll sum=0;
        for(int d=2; d<=100000; d++) 
            if(mu[d]==0||cnt[d]<m)
                continue;
            ll tmp=(-mu[d])*C(cnt[d],m);
            if(tmp>=mod||tmp<=-mod) 
                tmp%=mod;
            
            if(tmp<0)
                tmp+=mod;
            sum+=tmp;
            if(sum>=mod)
                sum-=mod;
        
        write((int)sum);
        puts("");