使用定义判断函数的奇偶性

Posted 2022-01-06 zhaokaifeng

题目

判断函数 \\(f(x)=ln(x+\\sqrt1+x^2)\\) 的奇偶性。

解析

本题用到的知识点

\\(log_a(MN)=log_aM+log_aN\\)

在 MATLAB (下面的代码在 MATLAB 9.1.0.441655 (R2016b) 中测试通过) 中输入如下代码：

x=0:0.01:10;
semilogy(x,log(x))

可以绘制出 \\(y=ln(x)\\) 的图像：

图 1

有图像可以看到，自然对数 \\(ln(x)\\) 只在 \\((0,+\\infty)\\) 的区间里有定义，不符合对数函数或者偶数函数对于“定义域 \\(X\\) 关于原点对称”的要求。不过题目中的函数可以看作是一个符合函数，因此，我们还需要结合 \\(g(x)=x+\\sqrt1+x^2\\) 的定义域来确定 \\(f(x)\\) 的定义域。

因为：

\\(\\sqrt1+x^2>\\sqrtx^2>|x|>0\\)

则：

当 \\(x\\in (-\\infty,+\\infty)\\) 时 \\(x+\\sqrt1+x^2 > 0\\) 满足自然对数函数 \\(ln(x)\\) 对定义域的要求，而且，当 \\(x=0\\) 时，\\(f(x)=ln(1)=0\\), 也满足奇函数“当f(x)在原点处有定义时，f(0)=0”的要求。

到这里，定义域的问题解决了，下面要解决的是函数是关于 \\(y\\) 轴对称，还是关于原点对称的问题。

由于：

\\(f(x)=ln(x+\\sqrt1+x^2)\\)

\\(f(-x)=ln(-x+\\sqrt1+x^2)\\)

则：

\\(f(x)+f(-x)=ln(\\sqrt1+x^2+x)+ln(\\sqrt1+x^2-x)=ln[(\\sqrt1+x^2+x)(\\sqrt1+x^2-x)]=ln(1+x^2-x^2)=ln(1)=0\\)

上面的运算结果符合奇函数的定义，因此，\\(f(x)=ln(x+\\sqrt1+x^2)\\) 是一个奇函数。

此外，使用 WolframAlpha 画出的函数 \\(f(x)=ln(x+\\sqrt1+x^2)\\) 的图像如下：

图 2. 图片来自 https://www.wolframalpha.com/

由图像我们也可以看出这是一个奇函数。

EOF